函数 f(x)=xlnx-1 的零点 x1
2. 函数 $f(x)=x\ln x-1$ 的零点为 $x_{1}$，函数 $g(x)=e^{x}(x-1)-e$ 的零点为 $x_{2}$，则下列结论正确的是（ ）
A. $e^{x_{2}}\cdot\ln x_{1}=e^{2}$
B. $e^{x_{2}-1}+\dfrac{1}{x_{1}}>2$
C. $\ln x_{1}-x_{2}=1$
D. $x_{2}+\dfrac{1}{1+\ln x_{1}}\le 2$
（图像：$y=x\ln x-1$、$y=e^{x}(x-1)-e$ 等曲线的示意图）
简解
依题可知 $x_{1}\ln x_{1}-1=0,\ e^{x_{2}}(x_{2}-1)-e=0$
$$\therefore\ln x_{1}=\frac{1}{x_{1}},\ e^{x_{2}-1}=\frac{1}{x_{2}-1}\ (x_{1},x_{2}>1)$$
$\therefore y=\ln x$ 与 $y=\dfrac{1}{x}$ 交点为 $(x_{1},\ln x_{1})$
$y=e^{x}$ 与 $y=\dfrac{1}{x}$ 交点为 $\left(x_{2}-1,e^{x_{2}-1}\right)$
$\because y=\ln x$ 与 $y=e^{x}$，$y=\dfrac{1}{x}$ 图像关于 $y=x$ 对称
$$\therefore x_{1}=e^{x_{2}-1}=\frac{1}{x_{2}-1},\ x_{2}-1=\ln x_{1}=\frac{1}{x_{1}}$$
$$\therefore e^{x_{2}}\ln x_{1}=\frac{x_{1}}{e}\ln x_{1}=\frac{1}{e}\quad \text{选项 A 错误}$$
$$e^{x_{2}-1}+\frac{1}{x_{1}}=x_{1}+\frac{1}{x_{1}}>2\quad \text{选项 B 正确}$$
$$\ln x_{1}-x_{2}=-1\quad \text{选项 C 错误}$$
$$x_{2}+\frac{1}{1+\ln x_{1}}=x_{2}+\frac{1}{x_{2}}>2\quad \text{选项 D 错误}$$
故选 B．