已知函数 $f(x)=\begin{cases}\mathrm{e}^{-x}, & x<0\\ \mathrm{e}^{x}, & 0\leqslant x\leqslant 1\\ 3-x, & x>1\end{cases}$，若 $x_1<x_2<x_3$，且 $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=k$，求 $x_1f(x_1)+x_2f(x_2)+x_3f(x_3)$ 的取值范围
解答
作出 $f(x)$ 的图像，直线 $y=k$ 与三段曲线各有一个交点时，需
$$1<k<2$$
（$k\leqslant 1$ 时 $y=k$ 与 $\mathrm{e}^{-x}$ 段无交点；$k\geqslant 2$ 时与 $3-x$ 段无交点。）
由 $\mathrm{e}^{-x_1}=\mathrm{e}^{x_2}=3-x_3=k$，解得
$$x_1=-\ln k,\qquad x_2=\ln k,\qquad x_3=3-k$$
$$\therefore\ x_1f(x_1)+x_2f(x_2)+x_3f(x_3)=k(x_1+x_2+x_3)=k(3-k)=3k-k^2$$
$$=-\left(k-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}$$
由 $1<k<2$：
$$2<-\left(k-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\leqslant\frac{9}{4}$$
答案： $x_1f(x_1)+x_2f(x_2)+x_3f(x_3)$ 的取值范围为 $\left(2,\ \dfrac{9}{4}\right]$
⟨注⟩ 原图为逐行行内公式片段，img03、img04、img07、img18 等 GDI 渲染字迹重叠严重，已按解答逻辑还原（如 $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=k$、$3k-k^2=-(k-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$）。