双曲线 以AC为直径的圆

16. 已知双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>0,b>0)$ 的左、右顶点分别为 $A$，$B$，点 $C$ 满足 $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}\ (\lambda>1)$，点 $P$ 为双曲线右支上任意一点（异于点 $B$），以 $AC$ 为直径的圆交直线 $AP$ 于点 $M$，直线 $BP$ 与直线 $CM$ 交于点 $N$。若 $N$ 点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是 $\underline{\blacktriangle}$。

解： 如上图所示。

以 $AC$ 为直径的圆的半径 $r=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{t+a}{2}$（设点 $C(t,0)$），由 $N$ 点的横坐标等于该圆的半径，

则点 $N\left(\dfrac{a+t}{2},y_{1}\right)$，设点 $P$ 坐标 $(x_{2},y_{2})$。

$\because AC$ 为直径，$M$ 在圆上，$\therefore\angle AMC=90^{\circ}$，即 $AP\perp NC$。

$\therefore k_{AP}=\dfrac{y_{2}}{x_{2}+a}$，$k_{NC}=\dfrac{y_{1}}{\dfrac{a+t}{2}-t}=\dfrac{2y_{1}}{a-t}$，

$\therefore \dfrac{y_{2}}{x_{2}+a}\times\dfrac{2y_{1}}{a-t}=-1$，$\therefore \dfrac{y_{2}}{x_{2}+a}=\dfrac{t-a}{2y_{1}}$。

又 $N$ 在直线 $BP$ 上，

$\because \dfrac{y_{2}}{x_{2}-a}=\dfrac{y_{1}}{\dfrac{a+t}{2}-a}=\dfrac{2y_{1}}{t-a}$，

两式相乘：

$\therefore \dfrac{y_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-a^{2}}=1$

$\because \dfrac{x_{2}^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_{2}^{2}}{b^{2}}=1$，即 $\dfrac{y_{2}^{2}}{b^{2}}=\dfrac{x_{2}^{2}-a^{2}}{a^{2}}=\dfrac{y_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-a^{2}}\cdot\dfrac{x_{2}^{2}-a^{2}}{a^{2}}$，

$\therefore b^{2}=a^{2}$

$\therefore e=\dfrac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$