绝对值函数 平口单峰函数

本文档为截图拼合页（含 Desmos 图形截图）。第 8 题题干原图分辨率较低，已根据两段解答（平口单峰法 + 线性规划法）复原，两者结论一致。

题 8：已知函数 $f(x)=x^2+ax+b$，若不等式 $|f(x)|\le 2$ 在 $[1,5]$ 上恒成立，则满足要求的有序实数对 $(a,b)$ 有（　　）

A. $0$ 个　　B. $1$ 个　　C. $2$ 个　　D. 无数个

题 8 解法一（平口单峰函数）

根据平口单峰函数知识可知，$f(x)$ 最大值的最小值为

此时 $-(a+6)=0$，$-(b-9)=\dfrac{4+0}{2}=2$，

题 8 解法二（线性规划）

显然函数 $f(x)$ 的最大值只能是 $f(1)$、$f(5)$ 或 $f\left(-\dfrac a2\right)$。

令 $a=x$，$b=y$：

根据线性规划知识在平面直角坐标系中画出各不等式表示区域，找到公共区域即可。如下图所示可以发现只有点 $A(-6,7)$ 合适。

（中间为 Desmos 绘制的可行域截图：抛物线族与两组平行带状区域，公共点仅 $A(-6,7)$。）

故选：B

题 16：若存在实数 $a$、$b$，对任意实数 $x\in[0,1]$，使得不等式 $x^3-m\le ax+b\le x^3+m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（　　）

A. $\left[\dfrac{\sqrt3}{9},+\infty\right)$　　B. $\left[\dfrac{8\sqrt3}{9},+\infty\right)$　　C. $\left[\dfrac{\sqrt3}{3},+\infty\right)$　　D. $\left[\dfrac{\sqrt3}{2},+\infty\right)$

题 16 解答

原式可化为 $-m\le -x^3+ax+b\le m$ 恒成立，

即 $\left|-x^3+ax+b\right|\le m$ 恒成立。

构造平口单峰函数 $f(x)=-x^3+\lambda x$，由 $f'(1)=0$ 得 $\lambda=1$，$f'(x)=-3x^2+1$。

$\therefore\ -\dfrac{\sqrt3}{3}<x<\dfrac{\sqrt3}{3}$ 时 $f(x)$ 单增，$x<-\dfrac{\sqrt3}{3}$ 或 $x>\dfrac{\sqrt3}{3}$ 时 $f(x)$ 单减。

即 $\left|-x^3+x+(b)\right|\le m$ 恒成立时（取 $a=1$，$f(0)=f(1)=b$）：

故选：A

附：平口单峰函数定理（原文档第 2 页）

若 $f(x)$ 为 $[m,n]$ 上的连续单峰函数，且 $f(m)=f(n)$，$x_0$ 为极值点，则当 $k$、$b$ 变化时，

的最大值的最小值为

当且仅当 $k=0$，$b=\dfrac{f(m)+f(x_0)}{2}$ 时取得。