三角形外心 O，求 m+n 范围

题目：已知 $\triangle ABC$ 内一点 $O$ 是其外心，$\sin A=\dfrac{2\sqrt2}{3}$，且 $\overrightarrow{AO}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，则 $m+n$ 的最大值为__．

解答一（几何法）

如图所示，延长 $AO$ 交 $BC$ 于 $D$。

令 $\overrightarrow{AO}=\lambda\overrightarrow{AD}$，$\lambda=\dfrac{\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|^2}$，则由 $B,C,D$ 三点共线及分点公式：

m=\lambda\cdot\frac{DC}{BC},\qquad n=\lambda\cdot\frac{BD}{BC}\ \implies\ m+n=\lambda

（即 $m+n=\lambda=\dfrac{AO}{AD}$。）

$|AO|$ 为外接圆的半径（定值），故 $\lambda$ 最大即 $AD$ 最小，此时 $AD\perp BC$，$\triangle ABC$ 为等腰三角形（$B=C$），且 $\sin A=\dfrac{2\sqrt2}{3}\ \left(\dfrac{\pi}{2}<A<\pi\right)$。

\therefore\ \cos A=1-2\sin^2\frac{A}{2}=-\frac{1}{3},\qquad \cos^2\frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{2}=\frac{1}{3}

等腰时 $B=C=\dfrac{\pi-A}{2}$，$\cos^2 B=\sin^2\dfrac{A}{2}=\dfrac{2}{3}$。

解答二（外心数量积法）

依题可知 $\overrightarrow{AO}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}=m(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB})+n(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC})$，

\therefore\ (1-m-n)\overrightarrow{AO}=m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}

两边与 $\overrightarrow{AO}$ 作数量积（$|\overrightarrow{AO}|=R$，$\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{OB}=R^2\cos 2C$，$\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{OC}=R^2\cos 2B$）：

m\cos 2C+n\cos 2B=1-m-n\ \implies\ m(1+\cos2C)+n(1+\cos2B)=1

\therefore\ 2m\cos^2 C+2n\cos^2 B=1

由 $B+C=\pi-A$，$\cos^2B+\cos^2C=1-2\cos B\cos C\cos A\cdots$ 当 $B=C$ 时（$\cos^2B=\cos^2C=\dfrac23$）得

2(m+n)\cdot\frac{2}{3}=1\ \implies\ m+n=\frac{3}{4}

\therefore\ (m+n)_{\max}=\boxed{\frac{3}{4}}

附：第 16 题（外心+数量积）

已知 $O$ 为 $\triangle ABC$ 外心，$|BC|=6$，$\overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{AC}=4$，当 $\angle C$ 最大时，$AB$ 边上的中线长为__．

解：取 $AC$ 中点 $D$，依题可知 $\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{AC}=0$（外心与弦中点连线垂直于弦）。

\therefore\ \overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DO})\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AC}=4

\therefore\ \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})\cdot(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA})=4\ \implies\ \frac{1}{2}(a^2-c^2)=4

$\therefore a^2-c^2=8$，$a^2=8+c^2$（$a=BC=6$，$c=AB$）。

\therefore\ \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{8+b^2}{12b}\ge\frac{2\sqrt{8b^2}}{12b}=\frac{\sqrt2}{3}

当且仅当 $b=2\sqrt2$ 时，$\cos C$ 最小，$\angle C$ 最大。

此时 $a^2+c^2=36+28=64-8\cdots$ 即 $c^2=28$，$a^2=36$，$b^2=8$。

$AB$ 边上的中线（$C$ 到 $AB$ 中点）：

m_c^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}=\frac{72+16-28}{4}=15

\therefore\ AB\text{ 边上中线}=\sqrt{15}

三角形外心o,求m+n范围

三角形外心 O，求 m+n 范围

解答一（几何法）

解答二（外心数量积法）

附：第 16 题（外心+数量积）