三次函数根与系数关系 韦达定理
12. 已知函数 $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x$，若 $f(x_{1})=f(x_{2})=f(x_{3})$，其中 $x_{1}<x_{2}<x_{3}$，则（ ）
A. $1<x_{1}<2$ B. $x_{1}+x_{2}>2$ C. $2x_{2}+x_{3}>6$ D. $0<x_{1}x_{2}x_{3}<4$
（图像：$f(x)$ 的图像，极大值点 $D=(1,4)$，极小值点 $E=(3,0)$，水平直线 $y=m\ (0<m<4)$ 与曲线交于 $A,B,C$ 三点）
解答
$f(x)$ 图像如上图所示，设 $f(x_{1})=f(x_{2})=f(x_{3})=m$
$\therefore 0<x_{1}<1<x_{2}<3<x_{3}<4,\ 0<m<4$
$$f(x)-m=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$$
$$\therefore x^{3}-6x^{2}+9x-m=x^{3}-(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^{2}+(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x-x_{1}x_{2}x_{3}$$
$$\therefore x_{1}+x_{2}+x_{3}=6$$
$$x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=9$$
$$x_{1}x_{2}x_{3}=m$$
对于选项 A，显然错误；
对于选项 B，$x_{1}+x_{2}=6-x_{3}>2$，选项 B 正确；
对于选项 C，$2x_{2}+x_{3}>x_{1}+x_{2}+x_{3}=6$，选项 C 正确；
对于选项 D，$x_{1}x_{2}x_{3}=m\in(0,4)$，选项 D 正确．