数列 $a_n=(1+\frac{1}{n})^n$ 与 e
题目（12）： 数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$，下列命题正确的为（ ）
A. $\{a_n\}$ 先递增后递减 B. $\{a_n\}$ 为递增数列
C. $\exists n\in\mathbb{N}^*$，$a_n>e$ D. $\forall n\in\mathbb{N}^*$，$a_n<e$
解：
依题可知 $\ln a_n=\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=n\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=n\ln(n+1)-n\ln n$
设 $f(n)=n\ln(n+1)-n\ln n$，则
$$f'(n)=\ln\frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1}=-\ln\left(1-\frac{1}{n+1}\right)-\frac{1}{n+1}$$
设 $g(x)=-\ln(1-x)-x\ (0<x<1)$，则 $g'(x)=\dfrac{x}{1-x}>0$
$\because g(0)=0\ \therefore g(x)>0$
$\therefore f'(n)>0\ \therefore f(n)$ 单增
$\therefore \{a_n\}$ 单增，选项 B 正确。
设 $h(x)=\ln(x+1)-x$，则 $h'(x)=\dfrac{-x}{x+1}$
$\therefore x>0$ 时 $h(x)$ 单减
$\because h(0)=0\ \therefore \ln(x+1)\leq x$（$x=0$ 时等号成立）
令 $x=\dfrac{1}{n}$：
$$\therefore \ln\frac{n+1}{n}<\frac{1}{n}\ \therefore \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)^n<1$$
$\therefore \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n<e$，选项 D 正确。