3、 已知实数 $x_1$、$x_2$、$y_1$、$y_2$ 满足：$x_1^{2}+y_1^{2}=1$，$x_2^{2}+y_2^{2}=1$，$x_1x_2+y_1y_2=\dfrac{1}{2}$，则 $\dfrac{|x_1+y_1-1|}{\sqrt{2}}+\dfrac{|x_2+y_2-1|}{\sqrt{2}}$ 的最大值
依题可知点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 为单位圆上两点
且 $\dfrac{|x_1+y_1-1|}{\sqrt{2}}+\dfrac{|x_2+y_2-1|}{\sqrt{2}}$ 可以看成 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 到直线 $x+y-1=0$ 的距离
令 $x_1=\cos\alpha$，$y_1=\sin\alpha$，$x_2=\cos\beta$，$y_2=\sin\beta$
$\because x_1x_2+y_1y_2=\dfrac{1}{2}$
$\therefore \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)=\dfrac{1}{2}$
$\therefore \alpha$ 与 $\beta$ 夹角为 $60^{0}$
如图所示
$\dfrac{|x_1+y_1-1|}{\sqrt{2}}+\dfrac{|x_2+y_2-1|}{\sqrt{2}}=DG+EH+\sqrt{2}=\sin\gamma+\sin(120^{0}-\gamma)+\sqrt{2}=\sqrt{3}\sin\left( \gamma+\dfrac{\pi}{6} \right)+\sqrt{2}\leq\sqrt{3}+\sqrt{2}$