离心率

湖南省常德市 2022-2023 高三期末考试数学试题

8. 已知双曲线 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>0,b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$、$F_{2}$，过 $F_{1}$ 的直线与曲线 $C$ 的左右两支分别交于点 $M$、$N$，且 $\left|F_{1}M\right|:\left|F_{2}N\right|:\left|MN\right|=1:2:3$，则曲线 $C$ 的离心率为（　　）

A. $2$　　B. $\dfrac{\sqrt{33}}{3}$　　C. $\dfrac{\sqrt{22}}{3}$　　D. $\dfrac{\sqrt{11}}{3}$

解：依题设 $\left|F_{1}M\right|=m$，$\left|F_{2}N\right|=2m$，$\left|MN\right|=3m$

$\because\left|F_{1}N\right|-\left|F_{2}N\right|=2a$

$\therefore 4m-2m=2a$　$\therefore m=a$

$\therefore\left|F_{1}M\right|=a$，$\left|MN\right|=3a$，$\left|F_{2}N\right|=2a$

$\because\left|MF_{2}\right|-\left|MF_{1}\right|=2a$　$\therefore\left|MF_{2}\right|=3a$

$\therefore\cos\angle F_{1}MF_{2}=\dfrac{9a^{2}+a^{2}-4c^{2}}{2\cdot3a\cdot a}$，$\cos\angle NMF_{2}=\dfrac{9a^{2}+9a^{2}-4a^{2}}{2\cdot3a\cdot3a}$

$\because\cos\angle F_{1}MF_{2}=-\cos\angle NMF_{2}$

$\therefore 12c^{2}=44a^{2}$　$\therefore e=\dfrac{\sqrt{33}}{3}$

故选 B。

辽宁省沈阳市第二中学 2022-2023 学年高三上学期 12 月月考数学试题

7. 如图所示，$F_{1}$，$F_{2}$ 是双曲线 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>0,b>0)$ 的左、右焦点，$C$ 的右支上存在一点 $B$ 满足 $BF_{1}\perp BF_{2}$，$BF_{1}$ 与 $C$ 的左支的交点 $A$ 满足 $\dfrac{\sin\angle AF_{2}F_{1}}{\sin\angle AF_{2}B}=\dfrac{\left|BF_{2}\right|}{\left|F_{1}F_{2}\right|}$，双曲线 $C$ 的离心率为（　　）

A. $3$　　B. $2\sqrt{3}$　　C. $\sqrt{13}$　　D. $\sqrt{15}$

解： $\because\dfrac{\left|F_{1}F_{2}\right|}{\sin\angle F_{1}AF_{2}}=\dfrac{\left|AF_{1}\right|}{\sin\angle AF_{2}F_{1}}$，$\dfrac{\left|BF_{2}\right|}{\sin\angle BAF_{2}}=\dfrac{\left|AB\right|}{\sin\angle AF_{2}B}$

$\therefore\dfrac{\sin\angle AF_{2}F_{1}}{\sin\angle AF_{2}B}=\dfrac{\left|AF_{1}\right|\left|BF_{2}\right|}{\left|F_{1}F_{2}\right|\left|AB\right|}=\dfrac{\left|BF_{2}\right|}{\left|F_{1}F_{2}\right|}$

$\therefore\left|AF_{1}\right|=\left|AB\right|$

设 $\left|AF_{1}\right|=\left|AB\right|=m$

$A$ 在左支上：$\left|AF_{2}\right|-\left|AF_{1}\right|=2a$，即 $\left|AF_{2}\right|-m=2a$

$B$ 在右支上：$\left|BF_{1}\right|-\left|BF_{2}\right|=2a$，即 $2m-\left|BF_{2}\right|=2a$

$\therefore\left|BF_{2}\right|=2m-2a$，$\left|AF_{2}\right|=2a+m$

$\because BF_{1}\perp BA$　$\therefore\left(2m-2a\right)^{2}+m^{2}=\left(2a+m\right)^{2}$

$\therefore m=3a$　$\therefore\left|AF_{1}\right|=\left|AB\right|=3a$，$\left|BF_{2}\right|=4a$，$\left|AF_{2}\right|=5a$

$\therefore 36a^{2}+16a^{2}=4c^{2}$　$\therefore e=\sqrt{13}$

故选 C。

浙江省金华十校 2022-2023 学年高三上学期期末模拟数学题

7. 设 $O$ 为坐标原点，$F_{1},F_{2}$ 为双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>0,b>0)$ 的两个焦点，$l_{1},l_{2}$ 为双曲线的两条渐近线，$F_{1}A$ 垂直 $l_{1}$ 于 $A$，$F_{1}A$ 的延长线交 $l_{2}$ 于 $B$，若 $\left|OA\right|+\left|OB\right|=2\left|AB\right|$，则双曲线的离心率为（　　）

A. $\sqrt{6}$　　B. $\sqrt{5}$　　C. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$　　D. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

解：过点 $B$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足为 $C$

设 $\left|AB\right|=m$，$\left|OA\right|=n$

$\because\left|OA\right|\perp\left|AB\right|$

$\therefore m^{2}+n^{2}=\left(2m-n\right)^{2}$

$\therefore\left|AB\right|=m=\dfrac{4}{3}n$，$\left|OB\right|=\left|OC\right|=\dfrac{5}{3}n$

$\therefore\tan\angle ACB=\dfrac{\dfrac{4}{3}n}{\dfrac{5}{3}n+n}=\dfrac{1}{2}$

$\therefore\tan\angle AOB=\dfrac{1}{2}$

$\therefore\tan\angle AOF_{1}=\dfrac{b}{a}=2$

$\therefore e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}a}{a}=\sqrt{5}$

故选 B。

四川省凉山州 2023 届高三第一次诊断性检测数学（理）试题第 16 题

16. 如图，已知椭圆 $C_{1}:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$，$C_{2}:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=t\ (a>b>0,0<t<1)$。若由椭圆 $C_{1}$ 长轴一端点 $P$ 和短轴一端点 $Q$ 分别向椭圆 $C_{2}$ 引切线 $PR$ 和 $QT$，若两切线斜率之积等于 $-\dfrac{1}{2}$，则椭圆 $C_{2}$ 的离心率 $e=$__。

解：设切线 $PR$ 斜率为 $k_{1}$，切线 $QT$ 的斜率为 $k_{2}$

由 $\begin{cases}\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=t\\ y=k_{1}(x+a)\end{cases}$ 得 $\left(b^{2}+a^{2}k_{1}^{2}\right)x^{2}+2a^{2}k_{1}^{2}x+a^{2}\left(a^{2}k_{1}^{2}-b^{2}t\right)=0$

$\therefore\Delta=\left(2a^{2}k_{1}^{2}\right)^{2}-4a^{2}\left(b^{2}+a^{2}k_{1}^{2}\right)\left(a^{2}k_{1}^{2}-b^{2}t\right)=0$

整理得 $b^{4}t=a^{2}b^{2}k_{1}^{2}-a^{2}k_{1}^{2}b^{2}t$

$\therefore k_{1}^{2}=\dfrac{b^{2}t}{a^{2}(1-t)}$

同理可得 $k_{2}^{2}=\dfrac{b^{2}(1-t)}{a^{2}t}$

$\therefore k_{1}^{2}k_{2}^{2}=\dfrac{b^{2}t}{a^{2}(1-t)}\cdot\dfrac{b^{2}(1-t)}{a^{2}t}=\dfrac{1}{4}$

$\therefore a^{2}=2b^{2}$

$\therefore c^{2}=a^{2}-b^{2}=b^{2}$

$\therefore e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$