存在 x∈[1,+∞) 使 (1+1/x)^(x+a) ≥ e 成立

题目：若存在 $x\in[1,+\infty)$，使得关于 $x$ 的不等式 $\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x+a}\ge e$ 成立，则实数 $a$ 的最小值（　　）

A. $2$　　B. $\dfrac{1}{\ln 2}$　　C. $\ln 2-1$　　D. $\dfrac{1}{\ln 2}-1$

解：由 $\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x+a}\ge e$ 两边取对数可得 $\left(x+a\right)\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\ge 1$　①，

令 $1+\dfrac{1}{x}=t$，则 $x=\dfrac{t}{t-1}$，因为 $x\in[1,+\infty)$，所以 $t\in(1,2]$，

则①可转化得 $\left(\dfrac{1}{t-1}+a\right)\ln t\ge 1$，

因为 $\ln t>0$，$\therefore a\ge\dfrac{1}{\ln t}-\dfrac{1}{t-1}$，

因为存在 $x\in[1,+\infty)$，使得关于 $x$ 的不等式 $\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x+a}\ge e$ 成立，

所以存在 $t\in(1,2]$，$a\ge\dfrac{1}{\ln t}-\dfrac{1}{t-1}$ 成立，故求 $\dfrac{1}{\ln t}-\dfrac{1}{t-1}$ 的最小值即可，

令 $g(x)=\dfrac{1}{\ln x}-\dfrac{1}{x-1},x\in(1,2]$

$\therefore\ g'(x)=-\dfrac{1}{x\cdot(\ln x)^2}+\dfrac{1}{(x-1)^2}=\dfrac{(\ln x)^2-\dfrac{(x-1)^2}{x}}{(x-1)^2(\ln x)^2}=\dfrac{(\ln x)^2-x-\dfrac{1}{x}+2}{(x-1)^2(\ln x)^2}$，

令 $h(x)=(\ln x)^2-x-\dfrac{1}{x}+2,x\in(1,2]$

$\therefore\ h'(x)=\dfrac{1}{x}\cdot 2\ln x-1+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{2\ln x-x+\dfrac{1}{x}}{x}$，

令 $\varphi(x)=2\ln x-x+\dfrac{1}{x},x\in(1,2]$，

$\therefore\ \varphi'(x)=\dfrac{2}{x}-1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{-x^2+2x-1}{x^2}=\dfrac{-(x-1)^2}{x^2}<0$，

所以 $\varphi(x)$ 在 $(1,2]$ 上单调递减，所以 $\varphi(x)<\varphi(1)=0$，

$\therefore\ h'(x)<0$，所以 $h(x)$ 在 $(1,2]$ 上单调递减，

所以 $h(x)<h(1)=0$，$\therefore\ g'(x)<0$，

$\therefore\ g(x)$ 在 $(1,2]$ 上单调递减，$\therefore\ g(x)\ge g(2)=\dfrac{1}{\ln 2}-1$，

$\therefore\ a\ge\dfrac{1}{\ln 2}-1$，所以实数 $a$ 的最小值为 $\dfrac{1}{\ln 2}-1$

故选：$\boxed{D}$