两个极值点 f(x₁)=f(x₂)=f(x₃)

8. 已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac{1}{2e}x^{2}-ax$ 存在两个极值点．若对任意满足 $f(x_{1})=f(x_{2})=f(x_{3})$ 的 $x_{1},x_{2},x_{3}\,(x_{1}<x_{2}<x_{3})$，均有 $f\left(e^{x_{1}}\right)<f\left(e^{x_{2}}\right)<f\left(e^{x_{3}}\right)$，则实数 $a$ 的取值范围为（　　）

(A). $\left(\dfrac{2}{\sqrt{e}},e\right]$

(B). $\left(\dfrac{2}{\sqrt{e}},2+\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right]$

(C). $\left(\dfrac{2}{\sqrt{e}},1+\dfrac{1}{e}\right]$

(D). $\left(\dfrac{2}{\sqrt{e}},2+\dfrac{1}{e}\right]$

（图像：$f(x)$ 与 $f\left(e^{x}\right)$ 的图像，标有 $A,C,B,D$ 各点）

解答

设 $f'(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{e}-a=0$ 两个实数解为 $m,n\ (0<m<n)$

\therefore x^{2}-aex+e=0

\therefore\triangle=a^{2}e^{2}-4e>0,\ m+n=ae,\ mn=e

\therefore a>\frac{2}{\sqrt{e}},\ m=\frac{ae-\sqrt{a^{2}e^{2}-4e}}{2}\quad ①

f\left(e^{x}\right)=x+\frac{1}{2e}\left(e^{x}\right)^{2}-ae^{x},\quad f'\left(e^{x}\right)=1+\frac{1}{e}\left(e^{x}\right)^{2}-ae^{x}

设 $p,r\ (0<p<r)$ 为 $\left(e^{x}\right)^{2}-aee^{x}+e=0$ 二根

\therefore e^{p}+e^{r}=ae,\ e^{p+r}=e

\therefore p+r=1

\therefore f\left(e^{x}\right)_{\text{极小值点}}\ r\le 1

$r=1$ 时，$p=0,\ a=1+\dfrac{1}{e},\ m=1,\ n=e$

$f(x)$ 与 $f\left(e^{x}\right)$ 图像如下图所示：

$\because f(x_{1})=f(x_{2})=f(x_{3})$ 时 $f\left(e^{x_{1}}\right)<f\left(e^{x_{2}}\right)<f\left(e^{x_{3}}\right)$

\therefore m\ge 1

带入①可得 $\dfrac{2}{\sqrt{e}}<a\le 1+\dfrac{1}{e}$

故选 C．