AP=2 三角形面积最小值

题目：如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=\dfrac{2\pi}{3}$，点 $P$ 在 $BC$ 上，且 $AP\perp AB$，$AP=2$。

（1）若 $PC=\sqrt3$，求 $PB$；

（2）求 $\triangle ABC$ 面积的最小值。

解法一（三角法）

设 $\angle B=\theta$（则 $\angle APB=\dfrac{\pi}{2}-\theta$，$\angle C=\dfrac{\pi}{3}-\theta$）。

（1） $\angle BAP=\dfrac{\pi}{2}$，$\angle BAC=\dfrac{2\pi}{3}$，故 $\angle PAC=\dfrac{\pi}{6}$。

在 $\triangle APC$ 中，由正弦定理：$\dfrac{PC}{\sin\angle PAC}=\dfrac{AP}{\sin C}$，即 $\dfrac{\sqrt3}{1/2}=\dfrac{2}{\sin C}$，得 $\sin C=\dfrac{\sqrt3}{3}$，$\cos C=\dfrac{\sqrt6}{3}$。

$\sin B=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-C\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt6}{3}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{3\sqrt2-\sqrt3}{6}$。

直角 $\triangle ABP$ 中 $BP=\dfrac{AP}{\sin B}=\dfrac{2}{\sin B}=\dfrac{12}{3\sqrt2-\sqrt3}=\boxed{\dfrac{4(3\sqrt2+\sqrt3)}{5}}$。

（2） 直角 $\triangle ABP$ 中：$AB=2\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\dfrac{2\cos\theta}{\sin\theta}$；

$\triangle APC$ 中（$\angle APC=\dfrac{\pi}{2}+\theta$）：$AC=\dfrac{2\sin(\frac{\pi}{2}+\theta)}{\sin(\frac{\pi}{3}-\theta)}=\dfrac{2\cos\theta}{\sin(\frac{\pi}{3}-\theta)}$。

分母 $=\sin\theta\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\cos\theta-\dfrac{1}{2}\sin\theta\right)=\cos^2\theta\cdot\dfrac{1}{2}\left(\sqrt3\tan\theta-\tan^2\theta\right)$，

由 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{3}\right)$，$\tan\theta\left(\sqrt3-\tan\theta\right)\le\left(\dfrac{\tan\theta+\sqrt3-\tan\theta}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}$，

当且仅当 $\tan\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$ 时取等号。

解法二（坐标法）

建立平面直角坐标系如上图所示：以 $A$ 为原点，$AB$ 在 $x$ 轴正半轴，则 $B(m,0)\ (m>0)$，$AP\perp AB$ 且 $AP=2$，故 $P(0,2)$，$\angle PAC=30^\circ$。

$\angle BAC=120^\circ$，故 $AC$ 直线方程 $y=-\sqrt3 x$；$BC$ 直线（过 $B,P$）：$y=-\dfrac{2}{m}x+2$。

联立得 $x_C=\dfrac{2m}{2-\sqrt3 m}$（$m>\dfrac{2\sqrt3}{3}$），$y_C=\dfrac{2\sqrt3 m}{\sqrt3 m-2}$。

设 $\sqrt3 m-2=t\ (t>0)$，则 $m^2=\dfrac{(t+2)^2}{3}$，

当且仅当 $t=2$（即 $m=\dfrac{4\sqrt3}{3}$）时取等号。

故 $\triangle ABC$ 面积的最小值为 $\dfrac{8\sqrt3}{3}$。