本题是江西U18名校联盟2026-2027学年高三上学期阶段性联考数学试题第8题。
题目： 若 $x > 0$ 时，$4mx - xe^{2x} + 2m\ln x \le 0$，则实数 $m$ 的最大值为（ ）
A. $\frac{1}{e}$ B. 1 C. $\frac{e}{2}$
解：$x > 0$，原不等式两边除以 $x$ 并整理，得
$4m - e^{2x} + \frac{2m\ln x}{x} \le 0,$
因为 $\frac{e^x}{x} = e^{x-\ln x}$，因此
$e^{x-\ln x} + 2(x-\ln x) \ge e^{\ln m} + 2\ln m$
构造函数 $f(t) = e^t + 2t$，$f'(t) = e^t + 2 > 0$，故 $f(t)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，不等式等价于
$f(x-\ln x) \ge f(\ln m) \Leftrightarrow x - \ln x \ge \ln m$
对 $x > 0$ 恒成立。
令 $g(x) = x - \ln x$，$g'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$，
$x \in (0,1)$ 时，$g'(x) < 0$，$g(x)$ 单调递减；$x \in (1, +\infty)$ 时，$g'(x) > 0$，$g(x)$ 单调递增，
所以 $x = 1$ 时取最小值 $g(1) = 1$，因此 $\ln m \le 1 \Leftrightarrow 0 < m \le e$，即 $m$ 的最大值为 $e$。