本题是河南信阳市2026-2027学年普通高中高三第一次教学质量检测数学试题第8题。
题目：函数 $f(x)=\begin{cases}x^{2}-ax+3, & x<4\\ \dfrac{7}{8}x^{2}-\dfrac{a}{x}-3, & x\geqslant 4\end{cases}$，若 $f(x)\geqslant 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是
A. $\left[-2\sqrt{3},\,2\sqrt{3}\right]$ B. $\left[-2\sqrt{3},\,+\infty\right)$ C. $\left[-2,\,2\right]$ D. $\left[-2,\,2\sqrt{3}\right]$
解答：$x<4$ 时，$f(x)=x^{2}-ax+3\geqslant 0$ 恒成立：
当 $x=0$ 时，代入得 $3\geqslant 0$，恒成立，$a$ 可取任意实数。
当 $0<x<4$ 时，不等式可变形为 $a\leqslant x+\dfrac{3}{x}$。
$x+\dfrac{3}{x}\geqslant 2\sqrt{x\cdot\dfrac{3}{x}}=2\sqrt{3}$，当且仅当 $x=\sqrt{3}$ 时取等号。
因此 $x+\dfrac{3}{x}$ 在 $(0,4)$ 上的最小值为 $2\sqrt{3}$，故 $a\leqslant 2\sqrt{3}$。
当 $x<0$ 时，不等式可变形为 $a\geqslant x+\dfrac{3}{x}$。
令 $g(x)=x+\dfrac{3}{x}$，求导得 $g'(x)=1-\dfrac{3}{x^{2}}$。
令 $g'(x)=0$，解得 $x=-\sqrt{3}$（$x=\sqrt{3}$ 舍去，因 $x<0$）。
当 $x<-\sqrt{3}$ 时，$g'(x)>0$，$g(x)$ 单调递增；当 $-\sqrt{3}<x<0$ 时，$g'(x)<0$，$g(x)$ 单调递减。
所以$g(x)$ 在 $x=-\sqrt{3}$ 处取得最大值 $g(-\sqrt{3})=-\sqrt{3}+\dfrac{3}{-\sqrt{3}}=-2\sqrt{3}$，故 $a\geqslant -2\sqrt{3}$。
所以，当 $x<4$ 时，$a$ 的取值范围为 $\left[-2\sqrt{3},\,2\sqrt{3}\right]$。
当 $x\geqslant 4$ 时，$f(x)=\dfrac{7}{8}x^{2}-\dfrac{a}{x}-3\geqslant 0$ 恒成立。
两边同乘 $x$（$x\geqslant 4>0$，不等号方向不变），得 $\dfrac{7}{8}x^{2}-3x+a\geqslant 0$，变形为 $a\geqslant -\dfrac{7}{8}x^{2}+3x$。
令 $h(x)=-\dfrac{7}{8}x^{2}+3x$，该函数为开口向下的二次函数，对称轴为 $x=\dfrac{12}{7}<4$。
因此 $h(x)$ 在 $\left[4,\,+\infty\right)$ 上单调递减，最大值为 $h(4)=-\dfrac{7}{8}\times 4^{2}+3\times 4=-2$，故 $a\geqslant -2$。
综上，$a$ 的取值范围为 $\left[-2,\,2\sqrt{3}\right]$。