本题是湖北武汉市九师联盟部分校2026-2027学年高三上学期10月联考数学试卷第14题
题目：若 $\forall x > 0$，$axe^{ax} - 2x^2\ln x \ge 2\ln x - ax$，则实数 $a$ 的取值范围为
解：原式可化为
$ax(e^{ax} + 1) \ge \ln x^2 (x^2 + 1) = \ln x^2(e^{\ln x^2} + 1)$
设 $f(x) = x(e^x + 1)$，则 $f'(x) = (x+1)e^x + 1 > 0$，
$\therefore f(x)$ 在 $x > 0$ 时单调递增，
$\therefore ax \ge \ln x^2$，
$\therefore a \ge \frac{\ln x^2}{x}$。
设 $g(x) = \frac{\ln x^2}{x}$，则 $g'(x) = \frac{2(1 - \ln x)}{x^2}$，
$\therefore 0 < x < e$ 时，$g'(x) > 0$，$g(x)$ 单增；
$x > e$ 时，$g'(x) < 0$，$g(x)$ 单减，
$\therefore g(x)_{\max} = g(e) = \frac{2}{e}$，
$\therefore a \ge \frac{2}{e}$。