本题为广东广州市十校联考2026-2027学年上学期高三年级10月适应性训练数学试题第8题。
题目：将 $1, 2, 3, \dots, 10$ 这 10 个数字进行重新排列，得到新的排列为 $a_1, a_2, \dots, a_{10}$，则满足对于 $\forall k \in \{1, 2, \dots, 10\}$，$|a_k - k| \le 1$ 的所有排列的个数为（ ）
A. 35 B. 55 C. 89 D. 144
解：由于对于 $\forall k \in \{1, 2, \dots, 10\}$，$|a_k - k| \le 1$，则每个数字 $a_k$ 可以是 $k-1, k, k+1$，
记 $1, 2, 3, \dots, n$ 的排列的个数为 $f_n$，考虑数字 $n$ 在排列中的位置：
（1）如果 $a_n = n$，则剩下的排列个数为 $f_{n-1}$；
（2）如果 $a_{n-1} = n$，则 $a_n = n-1$，因此剩下的排列个数为 $f_{n-2}$，
故 $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$，
由于 $f_1 = 1$，$f_2 = 2$，故 $f_3 = 3$，$f_4 = 5$，$f_5 = 8$，$f_6 = 13$，$f_7 = 21$，$f_8 = 34$，$f_9 = 55$，$f_{10} = 89$。
故这 10 个数的排列的个数为 89。