本题是河南信阳市2026-2027学年普通高中高三第一次教学质量检测数学试题第14题。
题目：函数 $f(x) = (x^2 + a^2x + a)\ln(x+1)$ 的图象经过四个象限，则实数 $a$ 的取值范围为$______$
解： ∵函数 $f(x) = (x^2 + a^2x + a)\ln(x+1)$ 的图象经过四个象限，$f(0) = 0$
∴当 $x \in (-1, 0)$ 时，$\ln(x+1) < 0$
当 $x \in (0, +\infty)$ 时，$\ln(x+1) > 0$
令 $g(x) = x^2 + a^2x + a$，其开口向上
∴ $g(x) = 0$ 在 $(-1, 0)$ 与 $(0, +\infty)$ 上均存在一个实根
$\therefore \begin{cases} g(-1) > 0 \\ g(0) < 0 \end{cases}$
∴ $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} < a < 0$