16. 已知函数 $f(x)=2e^x-x^2+2ax-a^2$（$e$ 为自然对数的底数），若 $f(x)\ge -3$ 在 $x\in(0,+\infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是。
思路一
依题可知 $2e^x-x^2+2ax-a^2+3\ge 0$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立
设 $g(x)=2e^x-x^2+2ax-a^2+3$，则 $g'(x)=2e^x-2x+2a=2(e^x-x+a)$
设 $h(x)=e^x-x+a$，则 $h'(x)=e^x-1$
$\therefore x<0$ 时 $h(x)$ 单减，$x>0$ 时 $h(x)$ 单增
$\therefore h(x)_{\text{极小值}}=h(0)=1+a$
当 $a\ge -1$ 时，$h(x)\ge 0$，$g'(x)\ge 0$，$g(x)$ 单增
$\therefore g(0)=5-a^2\ge 0$
$\therefore -1\le a\le \sqrt{5}$
当 $a<-1$ 时，$h(x)_{\text{极小值}}<0$，设 $h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上零点为 $x_0$，则 $e^{x_0}-x_0+a=0$，
$\therefore (0,x_0)$ 上 $h(x)<0$，$g'(x)<0$，$g(x)$ 单减；$(x_0,+\infty)$ 上 $h(x)>0$，$g'(x)>0$，$g(x)$ 单增
$\therefore g(x)_{\text{极小值}}=2e^{x_0}-x_0^2+2ax_0-a^2+3=2e^{x_0}-(x_0-a)^2+3$
$=-(e^{x_0})^2+2e^{x_0}+3=-(e^{x_0}-3)(e^{x_0}+1)\ge 0$
$\therefore e^{x_0}-3\le 0$
$\therefore 0<x_0\le \ln 3$
由上易知 $e^x-x\in(1,3-\ln 3]$
$\therefore a=-(e^x-x)\in[\ln 3-3,-1)$
综上 $a\in\left[\ln 3-3,\sqrt{5}\right]$
思路二
依题可知 $2e^x-x^2+2ax-a^2+3\ge 0$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立
$\therefore 2e^x-(x-a)^2+3\ge 0$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立
$\therefore (x-a)^2\le 2e^x+3$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立
$\therefore \begin{cases} x-a\le \sqrt{2e^x+3} \\ x-a\ge -\sqrt{2e^x+3} \end{cases}$
$\therefore \begin{cases} a\ge x-\sqrt{2e^x+3} \\ a\le x+\sqrt{2e^x+3} \end{cases}$
$\therefore$ 设 $m(x)=x+\sqrt{2e^x+3}$，$n(x)=x-\sqrt{2e^x+3}$
显然 $m(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单增，$m(x)>m(0)=\sqrt{5}$
$\therefore a\le \sqrt{5}$
$n'(x)=1-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2e^x}{\sqrt{2e^x+3}}=\dfrac{\sqrt{2e^x+3}-e^x}{\sqrt{2e^x+3}}$
$\therefore 0<x<\ln 3$ 时 $n(x)$ 单增，$x>\ln 3$ 时 $n(x)$ 单减
$\therefore n(x)_{\text{极大值}}=n(\ln 3)=\ln 3-3$
$\therefore a\ge \ln 3-3$
$\therefore a\in\left[\ln 3-3,\sqrt{5}\right]$