8. 已知 $x,y>0$，$x^3+y^3-\dfrac14x-\dfrac14y=3$，则 $13x+y$ 的最大值是（ ）
A. $15$ B. $18$ C. $20$ D. $24$
【详解】 利用公式 $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)\left[(x+y)^2-3xy\right]$
及 $xy=\dfrac{(x+y)^2-(x-y)^2}{4}$ 可得：
$$x^3+y^3=(x+y)\left[(x+y)^2-3\cdot\dfrac{(x+y)^2-(x-y)^2}{4}\right]=(x+y)\left[\dfrac{(x+y)^2}{4}+\dfrac{3(x-y)^2}{4}\right],$$
所以代入已知式化简可得 $(x+y)^3+3(x+y)(x-y)^2-(x+y)=12$，
由观察可得：当 $x-y=1$，$x+y=2$ 时，即 $2^3+3\times2\times1^2-2=12$ 成立，
此时 $x=\dfrac32$，$y=\dfrac12$，
所以 $x\left(x-\dfrac32\right)^2+y\left(y-\dfrac12\right)^2=x^3+y^3+\dfrac94x-3x^2+\dfrac14y-y^2$ ①，
又 $3\left(x-\dfrac32\right)^2=3x^2-9x+\dfrac{27}{4}$ ②，
$\left(y-\dfrac12\right)^2=y^2-y+\dfrac14$ ③，则 ①+②+③ 可得：
$$(x+3)\left(x-\dfrac32\right)^2+(y+1)\left(y-\dfrac12\right)^2=x^3+y^3-\dfrac{27}{4}x-\dfrac34y+7,$$
所以
$$x^3+y^3-\dfrac14x-\dfrac14y=(x+3)\left(x-\dfrac32\right)^2+(y+1)\left(y-\dfrac12\right)^2+\dfrac{13x+y}{2}-7=3,$$
故原不等式可化为：$(x+3)\left(x-\dfrac32\right)^2+(y+1)\left(y-\dfrac12\right)^2+\dfrac{13x+y}{2}=10$，
即 $\dfrac{13x+y}{2}\le 10$，故 $13x+y\le 20$，此时当 $x=\dfrac32$，$y=\dfrac12$ 时等号成立，即 $13x+y$ 的最大值是 $20$。
答案：C