本题为浙江省杭州第二中学2026-2027学年高三第一学期10月适应性检测数学试题第14题
题目：$\forall n \in \mathbf{N}^*$，$f_n(x) = \frac{\ln x}{x^n}$ 的极值点为 $a_n$，$A_n(a_n, f_n(a_n))$ 在直线 $y = k(x-1)$ 的下方，则 $k$ 的最小值是
解：函数 $f_n(x) = \frac{\ln x}{x^n}$ 的定义域为 $(0, +\infty)$，求导得
$f_n'(x) = -nx^{-n-1}\ln x + x^{-n} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1 - n\ln x}{x^{n+1}},$
当 $0 < x < e^{\frac{1}{n}}$ 时，$f_n'(x) > 0$；当 $x > e^{\frac{1}{n}}$ 时，$f_n'(x) < 0$，
则 $x = e^{\frac{1}{n}}$ 是函数 $f_n(x)$ 的极大值点，因此 $a_n = e^{\frac{1}{n}}$，$f_n(a_n) = \frac{\frac{1}{n}}{e} = \frac{1}{ne}$，
由 $A_n(a_n, f_n(a_n))$ 在直线 $y = k(x-1)$ 的下方，得
$f_n(a_n) < k(a_n - 1) \Leftrightarrow \frac{1}{ne} < k\left(e^{\frac{1}{n}} - 1\right) \Leftrightarrow k > \frac{1}{ne\left(e^{\frac{1}{n}} - 1\right)}$恒成立。
令 $\frac{1}{n} = t \in (0, 1]$，则对 $\forall t \in (0, 1]$，$k > \frac{t}{e(e^t - 1)}$ 恒成立，
令函数 $g(t) = e^t - 1 - t$，$t \in (0, 1]$，$g'(t) = e^t - 1 > 0$，函数 $g(t)$ 在 $(0, 1]$ 上单调递增，$g(t) > g(0) = 0$，
即 $e^t - 1 - t > 0 \Leftrightarrow e^t - 1 > t \Leftrightarrow \frac{t}{e^t - 1} < 1$ 恒成立，
因此 $\frac{t}{e(e^t - 1)} < \frac{1}{e}$ 恒成立，即 $k \ge \frac{1}{e}$，所以 $k$ 的最小值是 $\frac{1}{e}$。