已知实数 $x, y$ 满足 $x(x+y)=1+2y^2$，则 $\frac{5}{2}x^2-2y^2$ 的最小值为
解： 由 $x(x+y) = 1 + 2y^2$，可得 $(x+2y)(x-y) = 1$，令 $x+2y=m$，$x-y=n$，则 $mn=1$。
可得，$x = \frac{m+2n}{3}$，$y = \frac{m-n}{3}$
$\therefore \frac{5}{2}x^2 - 2y^2 = \frac{5}{2} \times \frac{(m+2n)^2}{9} - 2 \times \frac{(m-n)^2}{9} = \frac{1}{18} \left( m^2 + \frac{16}{m^2} + 28 \right) \geq \frac{1}{18} \times 2\sqrt{m^2 \cdot \frac{16}{m^2}} + \frac{14}{9} = 2,$
当且仅当 $m^2 = \frac{16}{m^2}$，即 $m=2$，$n=\frac{1}{2}$ 或 $m=-2$，$n=-\frac{1}{2}$ 时，即 $x=1$，$y=\frac{1}{2}$ 或 $x=-1$，$y=-\frac{1}{2}$ 时取等号。