已知分段函数 $f(x)=\begin{cases}|x+2|+1, & x\leqslant 0\\ \ln x, & x>0\end{cases}$，若 $a<b<c$，且 $f(a)=f(b)=f(c)$，求 $af(a)+bf(b)+cf(c)$ 的取值范围
解答
由 $f(a)=f(b)=f(c)$，结合图像（$y=|x+2|+1$ 与 $y=\ln x$）可知：$a<-2<b<0<c$。
由 $|x+2|$ 的对称性：
$$\therefore\ a+b=-4$$
设 $f(a)=f(b)=f(c)=t$。由图，$f(c)=\ln c$，且 $c\in\left(\mathrm{e},\mathrm{e}^{3}\right]$（即 $1<f(c)\leqslant 3$）。
$$\therefore\ af(a)+bf(b)+cf(c)=(a+b)f(c)+cf(c)=(c-4)f(c)$$
设 $g(x)=(x-4)\ln x$，$x\in\left(\mathrm{e},\mathrm{e}^{3}\right]$
$$g'(x)=\ln x+1-\frac{4}{x}$$
当 $x\in\left(\mathrm{e},\mathrm{e}^{3}\right]$ 时，$g'(x)>0$
$$\because\ g'(\mathrm{e})=2-\frac{4}{\mathrm{e}}>0$$
$\therefore\ g(x)$ 在 $\left(\mathrm{e},\mathrm{e}^{3}\right]$ 上单调递增
$$\therefore\ g(\mathrm{e})=\mathrm{e}-4,\qquad g\left(\mathrm{e}^{3}\right)=\left(\mathrm{e}^{3}-4\right)\cdot 3=3\mathrm{e}^{3}-12$$
$$\therefore\ (c-4)f(c)\in\left(\mathrm{e}-4,\ 3\mathrm{e}^{3}-12\right]$$
答案： $af(a)+bf(b)+cf(c)$ 的取值范围为 $\left(\mathrm{e}-4,\ 3\mathrm{e}^{3}-12\right]$
⟨注⟩ 原图为逐行行内公式片段，img03、img04、img06、img14、img23、img24 等 GDI 渲染字迹重叠严重，已按解答逻辑还原（如 $a+b=-4$、$g(\mathrm{e}^3)=3\mathrm{e}^3-12$）。