已知$a \neq 0,b \neq 0$且$b > - 1$，$ab = \left( \text{e}^{a} - 1 \right)\ln(b + 1)$，则下列说法中错误的是（ ）
A．$a \leq b$
B．若关于b的方程$\frac{1 + b}{a} = m$有且仅有一个解，则$m = \text{e}$
C．若关于b的方程$\frac{1 + b}{a} = m$有两个解$b_{1}$，$b_{2}$，则$b_{1} + b_{2} > 2\text{e}$
D．当$a > 0$时，$\frac{a}{b} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2b + 2}$
解 因为$ab = \left( \text{e}^{a} - 1 \right)\ln(b + 1)$，化简可得$\frac{a}{\text{e}^{a} - 1} = \frac{\ln(b + 1)}{b}$
令$f(x) = \frac{x}{\text{e}^{x} - 1},x \neq 0$，则$f'(x) = \frac{\text{e}^{x}(1 - x) - 1}{\left( \text{e}^{x} - 1 \right)^{2}}$，
令$h(x) = \text{e}^{x}(1 - x) - 1$，则$h'(x) = \text{e}^{x}(1 - x) + \text{e}^{x}( - 1) = - x\text{e}^{x}$，
故$x < 0$时，$h'(x) > 0$，函数$h(x)$在$( - \infty,0)$上递增；
$x > 0$时，$h'(x) < 0$，函数$h(x)$在$(0, + \infty)$上递减；
所以$h(x) \leq h(0) = \text{e}^{0} - 1 = 0$
即$f'(x) < 0$，所以函数$f(x)$单调递减，
所以$a = \ln(b + 1)$，
且令$g(x) = \text{e}^{x} - (x + 1)$，则$g'(x) = \text{e}^{x} - 1$，令$g'(x) > 0$，得$x > 0$，则$g(x)$递增；
令$g'(x) < 0$，得$x < 0$，则$g(x)$递减；
所以$g(x) \geq g(0) = 0$，即$\text{e}^{x} \geq 1 + x$，所以$b = \text{e}^{a} - 1 \geq a$成立，故A正确；
由$\frac{1 + b}{a} = \frac{\text{e}^{a}}{a} = m$转化为$y = \frac{\text{e}^{a}}{a}$与$y = m$的交点问题，
则$y' = \frac{\text{e}^{a}(a - 1)}{a^{2}}$，
如图所示，
当$a \in ( - \infty,0)$时，$y' < 0$，则$y = \frac{\text{e}^{a}}{a}$递减，当$a < 0$时，$y < 0$，
当$a \in (1, + \infty)$时，$y' > 0$，则$y = \frac{\text{e}^{a}}{a}$递增，
当$a \in (0,1)$时，$y' < 0$，则$y = \frac{\text{e}^{a}}{a}$递减，
即当$a = 1$时，函数有极小值$\text{e}$，
所以只有一个解时$m = \text{e}$或$m < 0$，故B错误；
由$\frac{1 + b}{a} = \frac{\text{e}^{a}}{a} = m$，由图易知，不妨设$b_{1} < b_{2}$，则$0 < b_{1} < 1 < b_{2}$，则有$\frac{\text{e}^{b_{1}}}{b_{1}} = \frac{\text{e}^{b_{2}}}{b_{2}}$
所以$\frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{\text{e}^{b_{2}}}{\text{e}^{b_{1}}} = \text{e}^{b_{2} - b_{1}} = t$，所以$b_{2} = tb_{1}$，代入可得$\text{e}^{tb_{1} - b_{1}} = t$，$\text{e}^{b_{1}(t - 1)} = t$
取对数可得$b_{1}(t - 1) = \ln t \Rightarrow b_{1} = \frac{\ln t}{t - 1}$，即$b_{2} = tb_{1} = \frac{t\ln t}{t - 1},t > 1$
所以$b_{1} + b_{2} = \frac{(t + 1)\ln t}{t - 1} > 2\text{e}(t - 1)$是否成立，
即$(t + 1)\ln t > 2\text{e}(t - 1)$，
令$m(t) = (t + 1)\ln t - 2\text{e}(t - 1),t > 1$，
取$t = \text{e}$时，$m\left( \text{e} \right) = \text{e} + 1 - 2\text{e}\left( \text{e} - 1 \right) < 0$不成立，故C错误；
因为$\frac{a}{b} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2(b + 1)}$，
即$\frac{a}{\text{e}^{a} - 1} < \frac{1}{2} + \frac{1}{2\text{e}^{a}}$，$\frac{2a}{\text{e}^{a} - 1} < 1 + \frac{1}{\text{e}^{a}}$，$\frac{2a\text{e}^{a}}{\text{e}^{a} - 1} < \text{e}^{a} + 1$
所以$2a\text{e}^{a} < \left( \text{e}^{a} + 1 \right)\left( \text{e}^{a} - 1 \right) = \text{e}^{2a} - 1$
令$z(a) = \text{e}^{2a} - 1 - 2a\text{e}^{a},a > 0$，只需证明$z(a) > 0$成立即可，
$z'(a) = 2\text{e}^{2a} - 2(1 + a)\text{e}^{a} = 2\text{e}^{a}\left( \text{e}^{a} - 1 - a \right) > 0$，所以$z(a) > z(0) = 0$成立
故D正确；