已知实数 $x, y > 0$，满足 $x + y + 1 = \frac{2}{x} + \frac{8}{y}$，则 $\frac{xy}{y+2x}$ 的最大值是 $\underline{\quad}.$
解：
$\frac{y+2x}{xy} = \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{6}\left(\frac{6}{x} + \frac{12}{y}\right) = \frac{1}{6}\left(\frac{2}{x} + \frac{8}{y} + \frac{4}{x} + \frac{4}{y}\right)$
再由条件 $x + y + 1 = \frac{2}{x} + \frac{8}{y}$，有
$\frac{1}{6}\left(x + \frac{4}{x} + y + \frac{4}{y} + 1\right) \ge \frac{1}{6}(4 + 4 + 1) = \frac{9}{6} = \frac{3}{2},$
故 $\frac{y+2x}{xy} \ge \frac{3}{2}$，即 $\frac{xy}{y+2x} \le \frac{2}{3}$，所以最大值为 $\frac{2}{3}$。