方程x(aeˣ+x)=e²ˣ存在三个不等的实数根

12. 若关于 $x$ 的方程 $x\left(ae^{x}+x\right)=e^{2x}$ 存在三个不等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是（　　）

A. $\left(-\infty,\ \dfrac{1}{e}-e\right)$　　B. $\left(\dfrac{1}{e}-e,\ +\infty\right)$

C. $\left(-\infty,\ e-\dfrac{1}{e}\right)$　　D. $\left(e-\dfrac{1}{e},\ +\infty\right)$

解： 原式可化为 $a=\dfrac{e^{x}}{x}-\dfrac{x}{e^{x}}$。

设 $f(x)=\dfrac{e^{x}}{x}-\dfrac{x}{e^{x}}$，则 $f'(x)=(x-1)\left(\dfrac{e^{x}}{x^{2}}+\dfrac{1}{e^{x}}\right)$，

$\therefore x>1$ 时 $f(x)$ 单增，$0<x<1$ 时 $f(x)$ 单减，

$\therefore x>0$ 时 $f(x)$ 极小值 $f(1)=e-\dfrac{1}{e}$；

$x\to-\infty$ 时，$\dfrac{e^{x}}{x}\to 0$，$\dfrac{x}{e^{x}}\to-\infty$，则 $f(x)\to+\infty$；

$x\to 0^{-}$ 时，$\dfrac{e^{x}}{x}\to-\infty$，$\dfrac{x}{e^{x}}\to 0$，则 $f(x)\to-\infty$，且 $x<0$ 时 $f'(x)<0$，$f(x)$ 单减，故 $x<0$ 上 $a=f(x)$ 恰有一根。

故当 $a>e-\dfrac{1}{e}$ 时，$x>0$ 上有两根，加上 $x<0$ 的一根，共三个不等实数根。

$\therefore a>e-\dfrac{1}{e}$。

故选 D。