f(x)=(lnx)² 有三个零点求 a 的取值范围

8. 已知函数 $f(x)=(\ln x)^2-\dfrac{a}{2}x\ln x+\dfrac{a}{e}x^2$ 有三个零点 $x_1,x_2,x_3$，且 $x_1<x_2<x_3$，则 $a$ 的取值范围是（　　）

A. $\left(-\dfrac{1}{e^2-e},0\right)$　　B. $\left(-\dfrac{1}{e^3},0\right)$　　C. $\left(-\dfrac{1}{2e},0\right)$　　D. $\left(-\dfrac{2}{e},0\right)$

解

依题可知 $(\ln x)^2-\dfrac{a}{2}x\ln x+\dfrac{a}{e}x^2=0$ 有三个不等实根

$\therefore \left(\dfrac{\ln x}{x}\right)^2-\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{a}{e}=0$

令 $t=\dfrac{\ln x}{x}$，则 $t^2-\dfrac{a}{2}t+\dfrac{a}{e}=0$

$\because t'=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$

$\therefore 0<x<e$ 时 $t(x)$ 单增，$x>e$ 时 $t(x)$ 单减，如下图所示

设 $h(t)=t^2-\dfrac{a}{2}t+\dfrac{a}{e}$

若 $f(x)$ 有三个零点需 $t^2-\dfrac{a}{2}t+\dfrac{a}{e}=0$ 有二不等实根且满足

① $t_1=\dfrac{1}{e}$，$t_2\in\left(0,\dfrac{1}{e}\right)$ 此时应负有 $h(0)>0$，$h\left(\dfrac{1}{e}\right)=0$ 舍

② $t_1\in(-\infty,0)$，$t_2\in\left(0,\dfrac{1}{e}\right)$ 此时应负有 $h(0)<0$，$h\left(\dfrac{1}{e}\right)<0$

$\therefore -\dfrac{2}{e}<a<0$

故选：D