多选 分段函数

题 12：已知函数 $f(x)=\begin{cases}\sqrt x,&x\in[0,1)\\[2pt]\dfrac12 f(x-1),&x\in[1,+\infty)\end{cases}$，则以下结论正确的是（　　）

A. 函数 $f(x)$ 为增函数

B. $\forall x_1,\ x_2\in[0,+\infty)$，$\left|f(x_1)-f(x_2)\right|<1$

C. 若 $f(x)<\dfrac38$ 在 $x\in[n,+\infty)$ 上恒成立，则 $n$ 的最小值为 2

D. 关于 $x$ 的方程 $2m\left[f(x)\right]^2+(m+2)f(x)+1=0$（$m\in\mathbf{R}$）有三个不同的实根，则 $-8\le m<-4$

【答案】BCD

【解析】

解 $x\in[1,2)$ 时，则 $x-1\in[0,1)$，所以 $f(x-1)=\sqrt{x-1}$。

又 $f(x)=\dfrac12f(x-1)$，所以当 $x\in[1,2)$ 时，$f(x)=\dfrac12\sqrt{x-1}$；

当 $x\in[2,3)$ 时，则 $x-1\in[1,2)$，所以 $f(x-1)=\dfrac12\sqrt{x-2}$。

又 $f(x)=\dfrac12f(x-1)$，所以当 $x\in[2,3)$ 时，$f(x)=\dfrac14\sqrt{x-2}$；

当 $x\in[3,4)$ 时，则 $x-1\in[2,3)$，所以 $f(x-1)=\dfrac14\sqrt{x-3}$。

又 $f(x)=\dfrac12f(x-1)$，所以当 $x\in[3,4)$ 时，$f(x)=\dfrac18\sqrt{x-3}$。

所以由此可知 $x\in[n,n+1)$ 时，$f(x)=\dfrac{1}{2^n}\sqrt{x-n}$；作出函数 $f(x)$ 的部分图像，如下图所示（分段弧线，峰值依次为 $1,\frac12,\frac14,\frac18\cdots$）：

由图像可知，函数 $f(x)$ 不为增函数，故 A 错误；

由图像可知，$f(x)\in[0,1)$，

所以 $\forall x_1,\ x_2\in[0,+\infty)$，$\left|f(x_1)-f(x_2)\right|<1$，故 B 正确；

在同一坐标系中作出函数 $f(x)$ 和函数 $y=\dfrac38$ 的图像，如下图所示：

由图像可知，当 $x\in\left[\dfrac{25}{16},2\right)$ 时 $f(x)\ge\dfrac38$，而当 $x\in[2,+\infty)$ 时，$f(x)\le\dfrac14<\dfrac38$ 恒成立，

所以 $n$ 的最小值为 2，故 C 正确；

令 $t=f(x)$，则 $t\in[0,1]$。则方程 $2m\left[f(x)\right]^2+(m+2)f(x)+1=0$（$m\in\mathbf{R}$）等价于

所以 $t=-\dfrac1m$，或 $t=-\dfrac12$（舍去）。

又 $f(x)=t$ 的实根个数为满足 $t<2^{-n}$ 的非负整数 $n$ 的个数：$t\in\left[\dfrac18,\dfrac14\right)$ 时恰有 3 个实根（$n=0,1,2$）。

在同一坐标系中作出函数 $f(x)$，函数 $y=\dfrac14$ 和函数 $y=\dfrac18$ 的图像，如下图所示：

由图像可知，当 $-\dfrac1m\in\left[\dfrac18,\dfrac14\right)$ 时，即 $-8\le m<-4$ 时，

关于 $x$ 的方程 $2m\left[f(x)\right]^2+(m+2)f(x)+1=0$（$m\in\mathbf{R}$）有三个不同的实根，故 D 正确。

综上，选 BCD。