f'(x)−f(x)=e²ˣ，x(f(x)−a)≥1+lnx+xe²ˣ 恒成立

题目：已知函数 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$ 满足：$f'(x)-f(x)=e^{2x}$，且 $f(0)=2$，当 $x\in(0,+\infty)$ 时，$x(f(x)-a)\ge 1+\ln x+xe^{2x}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 。

解：设 $g(x)=\dfrac{f(x)}{e^x}$，则 $g'(x)=\dfrac{f'(x)-f(x)}{e^x}=\dfrac{e^{2x}}{e^x}=e^x$

$\therefore\ f(x)=(e^x+c)e^x$

$\because\ f(0)=2$

$\therefore\ c=1$

$\therefore\ f(x)=(e^x+1)e^x$

$\therefore\ x\in(0,+\infty)$ 时 $x(e^{2x}+e^x-a)\ge 1+\ln x+xe^{2x}$ 恒成立

$\therefore\ a\le\dfrac{xe^x-\ln x-1}{x}$ 恒成立

设 $g(x)=\dfrac{xe^x-\ln x-1}{x}$，则 $g'(x)=\dfrac{x^2e^x+\ln x}{x^2}$

设 $t(x)=x^2e^x+\ln x$，$t'(x)=(x^2+2x)e^x+\dfrac{1}{x}>0$

$\therefore\ x\in(0,+\infty)$ 时，$t(x)$ 单增

$\because\ x\to+\infty$ 时 $t(x)\to+\infty$，$x\to 0$ 时 $t(x)\to-\infty$

$\therefore$ 存在 $x_0$，使得 $t(x_0)=x_0^2e^{x_0}+\ln x_0=0$

$\therefore\ x_0e^{x_0}=\dfrac{1}{x_0}\ln\dfrac{1}{x_0}=\ln\left(\dfrac{1}{x_0}\right)^{\frac{1}{x_0}}$

设 $m(x)=xe^x$，则 $m'(x)=e^x(x+1)>0$

$\therefore\ x\in(0,+\infty)$ 时，$m(x)$ 单增

$\therefore\ x_0=\ln\dfrac{1}{x_0}$，$e^{x_0}=\dfrac{1}{x_0}$

$\therefore\ 0<x<x_0$ 时 $t(x)<0$，$g'(x)<0$，$g(x)$ 单减；

$x>x_0$ 时 $t(x)>0$，$g'(x)>0$，$g(x)$ 单增

$\therefore\ g(x)_{\text{极小值}}=g(x_0)=\dfrac{x_0e^{x_0}-\ln x_0-1}{x_0}=\dfrac{1+\ln\dfrac{1}{x_0}-1}{\ln\dfrac{1}{x_0}}=1$

$\therefore\ a\le 1$

故实数 $a$ 的取值范围是 $\boxed{(-\infty,1]}$。