eᵃ(1-lnb)=1

12. 已知 $a>0$，$e^{a}\left(1-\ln b\right)=1$，则（　　）

A. $1<b<e$　　B. $a>\ln b$　　C. $e^{a}-\ln b<1$　　D. $b-a<1$

解析：

对于选项 A：

$\because a>0$，$e^{a}>e^{0}=1$，$e^{a}\left(1-\ln b\right)=1$

$\therefore 0<1-\ln b<1$

$\therefore 1<b<e$，故选项 A 正确

对于选项 B：

$\because \ln b=1-e^{-a}$

$\therefore a-\ln b=a-1+e^{-a}$

设 $\phi(x)=x-1+e^{-x}$，则 $\phi'(x)=1-e^{-x}>0$

$\therefore \phi(x)>\phi(0)=0$

$\therefore a-\ln b>0$，故选项 B 正确

对于选项 C：

$e^{a}-\ln b=1+\dfrac{1}{1-\ln b}-\ln b$

设 $u(x)=\dfrac{1}{x}-x\ \left(0<x<1\right)$，则 $g(x)=\dfrac{1}{x}+x-1\geq2-1=1>0$

$\therefore u(x)>g(0)=1$，$e^{a}-\ln b>1$，故选项 C 错误

对于选项 D：

$\ln b-\ln(a+1)=1-e^{-a}-\ln(a+1)$

设 $h(x)=1-e^{-x}-\ln(x+1)$，则 $h'(x)=e^{-x}-\dfrac{1}{x+1}$

$\because x>0$ 时 $e^{x}>x+1$

$\therefore h'(x)<0$，$\therefore h(x)<h(0)=0$

$\therefore \ln b<\ln(a+1)=0$，$\ln b-\ln(a+1)<0$

$\therefore b-a<1$，故选项 D 正确

综上，正确选项为 ABD。