12．已知函数 $f(x)=4\cos\left(\omega x-\dfrac{\pi}{12}\right)\ (\omega>0)$，$f(x)$ 在区间 $\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right]$ 上的最小值恰为 $-\omega$，则所有满足条件的 $\omega$ 的积属于区间（　）

A. $(1,\ 4]$　　B. $[4,\ 7]$　　C. $(7,\ 13)$　　D. $[13,\ +\infty)$

解答

依题若 $\omega x-\dfrac{\pi}{12}=\pi$，则 $x=\dfrac{13\pi}{12\omega}$

当 $x=\dfrac{13\pi}{12\omega}\leqslant\dfrac{\pi}{3}$ 即 $\omega\geqslant\dfrac{39}{12}$ 时，$f(x)_{\min}=-4$

$\therefore\ \omega=4$ 时满足 $f(x)_{\min}=-4=-\omega$ ✓

当 $\omega<\dfrac{39}{12}$ 时，$f(x)_{\min}=f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=4\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\omega-\dfrac{\pi}{12}\right)$

假设存在 $\omega$ 使 $4\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\omega-\dfrac{\pi}{12}\right)=-\omega$

作出 $g(x)=4\cos\left(\dfrac{\pi}{3}x-\dfrac{\pi}{12}\right)$ 和 $y=-x$ 图像，如下图所示：

显然 $g(3)=4\cos\dfrac{11\pi}{12}<4\cos\dfrac{5\pi}{6}=-2\sqrt{3}<-3$

\therefore\ 2<\omega_1<3

\because\ g\left(\frac{39}{12}\right)=4\cos\pi=-4<-\frac{39}{12}

\therefore\ \frac{39}{12}<\omega_2<4\ (\text{舍，与}\ \omega<\tfrac{39}{12}\ \text{矛盾})

$\therefore$ 满足条件的 $\omega$ 为 $\omega_1\in(2,3)$ 与 $\omega=4$

\therefore\ \omega\ \text{的积的范围为}\ (8,\ 12)

答案： C

⟨注⟩ 图中 $A(\omega_1,-\omega_1)$、$B(\omega_2,-\omega_2)$ 为 $g$ 与 $y=-x$ 的交点；$\omega=4$ 时 $f(x)_{\min}=-4$，积为 $4\omega_1\in(8,12)\subset(7,13)$。