1．设$a=\frac{1}{5},b=\text{ln}\frac{11}{9},c=\text{sin}\frac{1}{5}$，则（ ）
A．$a<b<c$ B．$b<c<a$
C．$c<b<a$ D．$c<a<b$
解.令$f\left( x \right)=lnx - \frac{2\left( x - 1 \right)}{x+1},x>0$，
所以${f}^{'}\left( x \right)=\frac{1}{x} - \frac{4}{{\left( x+1 \right)}^{2}}=\frac{{\left( x - 1 \right)}^{2}}{x{\left( x+1 \right)}^{2}} \geq 0$在$\left( 0,+ \infty \right)$上恒成立，
所以$f\left( x \right)$在$\left( 0,+ \infty \right)$上单调递增，
又$f\left( 1 \right)=ln1 - \frac{2\left( 1 - 1 \right)}{1+1}=0$，所以$f\left( \frac{11}{9} \right)>f\left( 1 \right)=0,$
所以$ln\frac{11}{9} - \frac{2 \times \left( \frac{11}{9} - 1 \right)}{\frac{11}{9}+1}>0$，即$ln\frac{11}{9}>\frac{1}{5}$，所以$a<b$.
令$g\left( x \right)=x - sinx,x>0$，所以${g}^{'}\left( x \right)=1 - cosx \geq 0$在$\left( 0,+ \infty \right)$上恒成立，
所以$g\left( x \right)$在$\left( 0,+ \infty \right)$上单调递增，
所以$g\left( x \right)>g\left( 0 \right)=0 - sin0=0$，
所以$g\left( \frac{1}{5} \right)=\frac{1}{5} - sin\frac{1}{5}>0$，即$\frac{1}{5}>sin\frac{1}{5}$，所以$c<a$，
综上，$c<a<b$. 故选：D.
2．已知$a=\frac{5}{4}ln\frac{5}{4},b=\frac{1}{4},c=2ln\left( sin\frac{1}{8}+cos\frac{1}{8} \right)$，则（ ）
A．$b<c<a$ B．$a<c<b$ C．$c<a<b$ D．$c<b<a$
解 要比较$a=\frac{5}{4}ln\frac{5}{4},b=\frac{1}{4}$的大小，只需比较$ln\frac{5}{4}$与$\frac{1}{5}$的大小，
即$ - ln\frac{4}{5}$与$1 - \frac{4}{5}$的大小，故可比较$ - lnx$与$1 - x$，当$x=\frac{4}{5}$的大小，
令$f\left( x \right)=1 - x+lnx$，$x \in \left( 0,1 \right)$，
则${f}^{'}\left( x \right)= - 1+\frac{1}{x}=\frac{1 - x}{x}$，
因为$x \in \left( 0,1 \right)$，所以${f}^{'}\left( x \right)>0$恒成立，
故$f\left( x \right)=1 - x+lnx$在$x \in \left( 0,1 \right)$上单调递增，
故$f\left( x \right)<f\left( 1 \right)=1 - 1+ln1=0$，
令$x=\frac{4}{5}$，则$1 - \frac{4}{5}+ln\frac{4}{5}<0$，即$ln\frac{4}{5}< - \frac{1}{5}$，
故$ - ln\frac{5}{4}< - \frac{1}{5}$，$ln\frac{5}{4}>\frac{1}{5}$，$\frac{5}{4}ln\frac{5}{4}>\frac{1}{5} \times \frac{5}{4}=\frac{1}{4}$，
所以$a>b$，
$c=2ln\left( sin\frac{1}{8}+cos\frac{1}{8} \right)=ln{\left( sin\frac{1}{8}+cos\frac{1}{8} \right)}^{2}=ln\left( 1+2sin\frac{1}{8}cos\frac{1}{8} \right)=ln\left( 1+sin\frac{1}{4} \right)$，
令$h\left( x \right)=x - sinx$，$x \in \left( 0,1 \right)$，
${h}^{'}\left( x \right)=1 - cosx>0$在$x \in \left( 0,1 \right)$上恒成立，
故$h\left( x \right)=x - sinx>h\left( 0 \right)=0$，所以$h\left( \frac{1}{4} \right)=\frac{1}{4} - sin\frac{1}{4}>0$，$\frac{1}{4}>sin\frac{1}{4}$，
则$c=ln\left( 1+sin\frac{1}{4} \right)<ln\left( 1+\frac{1}{4} \right)$，
构造$g\left( x \right)=ln\left( 1+x \right) - x$，$x \in \left( 0,1 \right)$，
${g}^{'}\left( x \right)=\frac{1}{1+x} - 1=\frac{ - x}{1+x}<0$在$x \in \left( 0,1 \right)$上恒成立，
故$g\left( x \right)=ln\left( 1+x \right) - x$在$x \in \left( 0,1 \right)$单调递减，
所以$g\left( x \right)=ln\left( 1+x \right) - x<g\left( 0 \right)=0$，
故$g\left( \frac{1}{4} \right)=ln\left( 1+\frac{1}{4} \right) - \frac{1}{4}<0$，故$ln\left( 1+\frac{1}{4} \right)<\frac{1}{4}$，
即$c=ln\left( 1+sin\frac{1}{4} \right)<ln\left( 1+\frac{1}{4} \right)<\frac{1}{4}=b$，
综上：$c<b<a$.
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