16. 已知函数 $f(x)=a\sqrt{x^2-\dfrac{1}{2}}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}b-e^x$，若 $f(x)=0$ 在 $\left[\dfrac{e}{3},e\right]$ 上有解，则 $a^2+b^2$ 的最小值为.
思路一
解：设 $f(x)=0$ 的解为 $x_0$，
$\therefore a\sqrt{x_0^2-\dfrac{1}{2}}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}b-e^{x_0}=0$
设 $a^2+b^2=r^2$，$a=r\sin\theta$，$b=r\cos\theta$
$\therefore r\sqrt{x_0^2-\dfrac{1}{2}}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{2}}{2}r\cos\theta=e^{x_0}$
$\therefore \sin(\theta+\varphi)=\dfrac{e^{x_0}}{\sqrt{r^2x_0^2}}\le 1$
$\therefore |r|\ge \dfrac{e^{x_0}}{x_0}$
设 $g(x)=\dfrac{e^x}{x}$，则 $g'(x)=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}$
$\therefore 1<x\le e$ 时 $g(x)$ 单增，$\dfrac{e}{3}\le x<1$ 时 $g(x)$ 单减
$\therefore g(x)_{\text{极小值}}=g(1)=e$
$\therefore a^2+b^2=r^2\ge e^2$
思路二
解析：设函数 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac{e}{3},e\right]$ 上的零点为 $m$.
则 $a\sqrt{m^2-\dfrac{1}{2}}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}b-e^m=0$
所以点 $P(a,b)$ 在直线 $l:\sqrt{m^2-\dfrac{1}{2}}\cdot x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}y-e^m=0$ 上.
设 $O$ 为坐标原点，则 $a^2+b^2=|OP|^2$，其最小值就是 $O$ 到直线 $l$ 的距离的平方
所以 $\sqrt{a^2+b^2}=|OP|\ge \dfrac{e^m}{\sqrt{m^2-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{e^m}{m}$
设 $g(m)=\dfrac{e^m}{m}$，$m\in\left[\dfrac{e}{3},e\right]$，则 $g'(m)=\dfrac{e^m(m-1)}{m^2}$，
所以 $g(m)$ 在 $\left[\dfrac{e}{3},1\right)$ 单调递减，在 $(1,e]$ 单调递增.
所以 $g(m)_{\min}=g(1)=e$.
$a^2+b^2\ge e^2$.
所以 $a^2+b^2$ 的最小值为 $e^2$.