21．已知不等式$\text{e}^{2x} - kx^{2} + x \geq \text{ln}x + \frac{1}{2}\text{ln}k(k > 0)$恒成立，则$k$的最大值为\\\\\\\\\\.
21．$\text{e}^{2}$
【详解】法一：$\text{e}^{2x} - kx^{2} + x \geq \text{ln}x + \frac{1}{2}\text{ln}k(k > 0)$变形为$\left( \text{e}^{x} \right)^{2} + \text{lne}^{x} \geq {(\sqrt{k}x)}^{2} + \text{ln}\left( \sqrt{k}x \right)$，
构造$y = x^{2} + \text{ln}x$，定义域为$(0, + \infty)$，
则$y' = 2x + \frac{1}{x} > 0$在$(0, + \infty)$上恒成立，
所以$y = x^{2} + \text{ln}x$在$(0, + \infty)$单调递增，
故$\text{e}^{x} \geq \sqrt{k}x$，两边平方后变形得到$\left( \frac{\text{e}^{x}}{x} \right)^{2} \geq k$，
构造$g(x) = \frac{\text{e}^{x}}{x}$，$x > 0$，
则$g'(x) = \frac{\text{e}^{x}(x - 1)}{x^{2}}$，当$x > 1$时，$g'(x) > 0$，当$0 < x < 1$时，$g'(x) < 0$，
故$g(x) = \frac{\text{e}^{x}}{x}$在$x = 1$处取得极小值，也是最小值，
可知$\left( \frac{\text{e}^{x}}{x} \right)_{\text{min}} = \text{e}$，故$k \leq \text{e}^{2}$，
$k$的最大值为$\text{e}^{2}$；
法二：$\text{e}^{2x} - kx^{2} + x \geq \text{ln}x + \frac{1}{2}\text{ln}k(k > 0)$中令$x = 1$得：$\text{e}^{2} + 1 \geq k + \frac{1}{2}\ln k$，
解得：$k \leq \text{e}^{2}$，
当$k = \text{e}^{2}$时，只要证$\text{e}^{2x} - \text{e}^{2}x^{2} + x \geq \text{ln}x + 1$，$x > 0$，
其中$x \geq \text{ln}x + 1$，$x > 0$显然成立，
以下是证明过程：构造$h(x) = x - \ln x - 1$，$x > 0$，
$h'(x) = 1 - \frac{1}{x}$，当$x > 1$时，$h'(x) > 0$，当$0 < x < 1$时，$h'(x) < 0$，
故$h(x) = x - \ln x - 1$在$0 < x < 1$上单调递减，在$x > 1$上单调递增，
故$h(x) \geq h(1) = 0$，故$x \geq \text{ln}x + 1$，$x > 0$，
只要证$\text{e}^{2x} - \text{e}^{2}x^{2} \geq 0$，即$\text{e}^{2x} \geq \text{e}^{2}x^{2}$，由于$\text{e}^{x} > 0,\text{e}x > 0$，
故只要$\text{e}^{x} \geq \text{e}x$，
构造$k(x) = \text{e}^{x} - \text{e}x$，$x > 0$，
则$k'(x) = \text{e}^{x} - \text{e}$，当$x > 1$时，$k'(x) > 0$，当$0 < x < 1$时，$k'(x) < 0$，
故$k(x) = \text{e}^{x} - \text{e}x$在$0 < x < 1$上单调递减，在$x > 1$上单调递增，
故$k(x) \geq k(1) = 0$，故$\text{e}^{x} \geq \text{e}x$，$x > 0$，
综上：可得$k$的最大值为$\text{e}^{2}$.
故答案为：$\text{e}^{2}$