a≥c≥b≥d＞0

来源：基本不等式\a≥c≥b≥d＞0.docx，共 2 张图，转录自 media/img01.png（题干）、media/img02.png（解答）。

📌 注：本题与《0＜f(a)≤f(b)≤f(c)≤f(d))＜1》内容相同（同一题的重复收录），此处独立转录存档。

题目

*12. 已知 $f(x)=\dfrac{1}{1+x}$，若实数 $a$、$b$、$c$、$d$ 满足 $0 < f(a) \le f(c) \le f(b) \le f(d) < 1$，

则 $f\!\left(\dfrac{a}{b}\right)+f\!\left(\dfrac{b}{c}\right)+f\!\left(\dfrac{c}{d}\right)+f\!\left(\dfrac{d}{a}\right)$ 的取值范围为 __.

依 $a \ge c \ge b \ge d > 0$，则 $0 < d \le b \le \sqrt{ac}$

原式 $=\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{d}{c+d}+\dfrac{a}{d+a}$

显然 $a=b=c=d$ 时，原式 $=2$

$a\to+\infty$、$d\to 0$ 时，$\dfrac{b}{a+b}\to 0$，$\dfrac{d}{c+d}\to 0$，$\dfrac{a}{d+a}\to 1$

$\dfrac{c}{b+c}=\dfrac{1}{\frac{b}{c}+1}\ge\dfrac{1}{2}$，原式 $\to \dfrac{3}{2}$

原式可化为

\begin{aligned} &\ \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}\\ &=\frac{a+b-b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{c+d-c}{c+d}+\frac{a}{d+a}\\ &=2+\left(\frac{c}{a+b}-\frac{a}{a+b}\right)+\left(\frac{a}{d+a}-\frac{c}{c+d}\right)\\ &=2+\frac{b(c-a)}{(a+b)(b+c)}+\frac{d(a-c)}{(d+a)(d+c)}\\ &=2+\left[\frac{d(a-c)}{(d+a)(d+c)}-\frac{b(a-c)}{(b+a)(b+c)}\right]\\ &=2+(a-c)\left[\frac{1}{d+\frac{ac}{d}+(a+c)}-\frac{1}{b+\frac{ac}{b}+(a+c)}\right] \end{aligned}

设 $f(x)=x+\dfrac{ac}{x}\ (x>0)$，显然 $\left(0,\sqrt{ac}\right)$ 上 $f(x)$ 单减

$\therefore f(b)\le f(d)$

$\therefore$ 原式 $\le 2$

$\therefore \dfrac{3}{2} < \text{原式} \le 2$