1．已知实数$a={e}^{2-\sqrt{3}},b=\frac{4}{3},c={e}^{\frac{1}{3}}$，则下列选项正确的是（ ）
A．$a<b<c$ B．$b<a<c$ C．$a<c<b$ D．$b<c<a$
解.令$f(x)=\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}},{f}^{'}(x)=\frac{{e}^{x}(x-2)}{{x}^{3}}$，当$x \in (0,2)$时，${f}^{'}(x)<0$，
即$f(x)$在区间$(0,2)$单调递减，
∴$f(2)<f(\sqrt{3}),\frac{{e}^{2}}{4}<\frac{{e}^{\sqrt{3}}}{3},{e}^{2-\sqrt{3}}<\frac{4}{3},a<b$
令$h(x)={e}^{x}-x-1,{h}^{'}(x)={e}^{x}-1$
∴$h(x)$在$(- \infty ,0)$单调递减，在$(0,+ \infty )$单调递增．
$h(x) \geq h(0)=0$恒成立，
$h\left( \frac{1}{3} \right)={e}^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{3}-1>0,{e}^{\frac{1}{3}}>\frac{4}{3},c>b$．
∴$a<b<c$ 故选：A.
2、已知正数$a$，$b$，$c$满足${\text{e}}^{a}={1.1}^{3}$，$5{b}^{2}+10b-3=0$，${\text{e}}^{c}=1.3$，则（ ）
A．$a<c<b$ B．$b<a<c$
C．$c<a<b$ D．$c<b<a$
解：由$5{b}^{2}+10b-3=0$解得$b=-1+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，
构造函数$f(x)=x-\frac{1}{2}{x}^{2}-ln(x+1)$，$(x>-1)$，显然${f}^{'}(x)=\frac{-{x}^{2}}{x+1}<0$，
故$f(x)$是减函数，结合$f(0)=0$，故$x>0$时，$f(x)<0$，
故$ln(x+1)>x-\frac{1}{2}{x}^{2}$，$(x>0)$，
再令$g(x)=x-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{3}{x}^{3}-ln(x+1)$，$(x>-1)$，${g}^{'}(x)=\frac{{x}^{3}}{1+x}$，当$x>0$时，${g}^{'}(x)>0$，
故$g(x)$在$(0,+ \infty )$单调递增，结合$g(0)=0$，
故$ln(x+1)<x-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{3}{x}^{3}$，$(x>0)$，
则$c=ln1.3=ln(1+0.3)<0.3-\frac{1}{2} \times 0.09+\frac{1}{3} \times 0.027=0.264$，
$a=3ln1.1>3 \times (0.1-\frac{1}{2} \times 0.01)=0.285$，
所以${(a+1)}^{2}>{(1+0.285)}^{2}=1.651225$，${(b+1)}^{2}=\frac{8}{5}=1.6$，${(c+1)}^{2}={(1+0.264)}^{2}=1.597696$，
故${(a+1)}^{2}>{(b+1)}^{2}>{(c+1)}^{2}$，
由$a$，$b$，$c$都是正数，故$a>b>c$．故选：D．
3．若$a=\frac{10\text{e}}{9}$，$b={\left( \frac{11}{10} \right)}^{11}$，$c={\text{e}}^{\frac{11}{10}}$，其中$\text{e}$为自然对数的底数，则$a,b,c$的大小关系为（ ）
A．$a<b<c$ B．$c<b<a$
C．$b<c<a$ D．$c<a<b$
解、令$f\left( x \right)={\text{e}}^{x+1}-\frac{\text{e}}{1-x}\left( 0<x<1 \right)$，则$f\left( x \right)=\frac{\text{e}}{x-1}\left[ \left( x-1 \right){\text{e}}^{x}+1 \right]$，
令$g\left( x \right)=\left( x-1 \right){\text{e}}^{x}+1\left( 0<x<1 \right)$，则${g}^{'}\left( x \right)=x{\text{e}}^{x}>0$，
$ \therefore g\left( x \right)$在$\left( 0,1 \right)$上单调递增，$ \therefore g\left( x \right)>g\left( 0 \right)=0$，又$\frac{\text{e}}{x-1}<0$，
$ \therefore f\left( x \right)<0$，$ \therefore f\left( \frac{1}{10} \right)={\text{e}}^{\frac{11}{10}}-\frac{10\text{e}}{9}<0$，即${\text{e}}^{\frac{11}{10}}<\frac{10\text{e}}{9}$，$ \therefore c<a$；
令$h\left( x \right)={\text{e}}^{x}-\left( x+1 \right)\left( x>0 \right)$，则${h}^{'}\left( x \right)={\text{e}}^{x}-1>0$，
$ \therefore h\left( x \right)$在$\left( 0,+ \infty \right)$上单调递增，$ \therefore h\left( x \right)>h\left( 0 \right)=0$，$ \therefore h\left( \frac{1}{10} \right)={\text{e}}^{\frac{1}{10}}-\frac{11}{10}>0$，即${\text{e}}^{\frac{1}{10}}>\frac{11}{10}$；
$ \because y={x}^{11}$在$R$上单调递增，$ \therefore {\text{e}}^{\frac{11}{10}}>{\left( \frac{11}{10} \right)}^{11}$，即$c>b$；
综上所述：$b<c<a$.故选：C.
4.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
解：显然，
所以最小，观察选项明显只有D满足，
所以选项还可以优化，一般在高考中最小最多能排除2个选项.
考后分析：
因为，所以，
所以，
即.