1．下列不等式中正确的是（ ）
A．$ln3>\sqrt{3}ln2$ B．$ln \pi <\sqrt{\frac{\mathrm{~\pi~}}{\text{e}}}$ C．${2}^{\sqrt{15}}>15$ D．$3\text{eln}2<8$
解：令$f\left( x \right)=\frac{lnx}{x}$，则${f}^{'}\left( x \right)=\frac{1 - lnx}{{x}^{2}}$，令${f}^{'}\left( x \right)=0$，得$x=\text{e}$，
当$x \in (0,\text{e})$，${f}^{'}\left( x \right)>0$，得$f\left( x \right)$在$(0,\text{e})$上单调递增，当$x \in (\text{e},+ \infty )$，${f}^{'}\left( x \right)<0$，$f\left( x \right)$在$(\text{e},+ \infty )$上单调递减，
所以对于A，$f\left( 2 \right)>f\left( \sqrt{3} \right)$，即$\frac{ln2}{2}>\frac{ln\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$，即$\sqrt{3}ln2>2ln\sqrt{3}=ln3$，故A错误；
对于B，$f\left( \sqrt{\mathrm{~\pi~}} \right)>f\left( \sqrt{\text{e}} \right)$，即$\frac{ln\sqrt{\mathrm{~\pi~}}}{\sqrt{\mathrm{~\pi~}}}>\frac{ln\sqrt{\text{e}}}{\sqrt{\text{e}}}$，所以可得$ln \pi >\sqrt{\frac{\mathrm{~\pi~}}{\text{e}}}$，故B错误；
对于C，$f\left( \sqrt{15} \right)>f\left( 4 \right)$，即$\frac{ln\sqrt{15}}{\sqrt{15}}>\frac{ln4}{4}=\frac{ln2}{2}$，即$ln15=2ln\sqrt{15}>\sqrt{15}ln2$，所以$ln15>ln{2}^{\sqrt{15}}$，所以${2}^{\sqrt{15}}<15$，故C错误；
对于D，${\text{e}}^{2}<{2.74}^{2}=7.5076<8$，所以$\text{e}<\sqrt{8}$，所以$f\left( \sqrt{8} \right)<f\left( \text{e} \right)$，即$\frac{ln\sqrt{8}}{\sqrt{8}}<\frac{lne}{\text{e}}$，即$\frac{\frac{3}{2}ln2}{2\sqrt{2}}<\frac{1}{\text{e}}$，即$\frac{3\text{e}}{2}ln2<2\sqrt{2}$，所以$3\text{eln}2<4\sqrt{2}<8$，故D正确．故选：D．
2．已知$a=\frac{9}{2}{log}_{3}\text{e},b=\frac{8}{3}{log}_{2}\text{e},c=\frac{{\text{e}}^{2}}{2}$，则（ ）
A．$a>b>c$ B．$a>c>b$
C．$b>c>a$ D．$c>a>b$
解 $ a=\frac{9}{2}{log}_{3}\text{e}=\frac{9}{2} \cdot \frac{lne}{ln3}=\frac{9}{ln9}$，$b=\frac{8}{3}{log}_{2}\text{e}=\frac{8}{3} \cdot \frac{lne}{ln2}=\frac{8}{ln8}$，$c=\frac{{\text{e}}^{2}}{2}=\frac{{\text{e}}^{2}}{ln{\text{e}}^{2}}$，
设$f\left( x \right)=\frac{x}{lnx}$，则${f}^{'}\left( x \right)=\frac{lnx - 1}{{\left( lnx \right)}^{2}}$，当$x \in \left( \text{e},+ \infty \right)$时，${f}^{'}\left( x \right)>0$，函数单调递增，
故$f\left( 9 \right)>f\left( 8 \right)>f\left( {\text{e}}^{2} \right)$，即$a>b>c$.故选：A
3．已知$a=\frac{2}{\text{e}},b=\text{ln}2,c={\text{log}}_{8}6$，则（ ）
A．$a>c>b$ B．$b>a>c$
C．$c>a>b$ D．$c>b>a$
解 $a=\frac{2}{\text{e}}=\frac{2lne}{\text{e}}$，$b=\text{ln}2=\frac{2ln2}{2}=\frac{2ln4}{4}$，
构造$f\left( x \right)=\frac{lnx}{x}$，$x \geq \text{e}$，
则${f}^{'}\left( x \right)=\frac{1 - lnx}{{x}^{2}} \leq 0$在$x \geq \text{e}$上恒成立，
故$f\left( x \right)=\frac{lnx}{x}$在$x \geq \text{e}$上单调递减，
所以$\frac{lne}{\text{e}}>\frac{ln4}{4}$，
故$\frac{2lne}{\text{e}}>\frac{2ln4}{4}$，即$a>b$，
而${\text{log}}_{8}6 - \frac{3}{4}=\frac{ln6}{3ln2} - \frac{3}{4}=\frac{4ln6 - 9ln2}{12ln2}=\frac{ln{6}^{4} - ln{2}^{9}}{12ln2}$，
其中${6}^{4}=1296,{2}^{9}=512$，所以${\text{log}}_{8}6 - \frac{3}{4}=\frac{ln{6}^{4} - ln{2}^{9}}{12ln2}>0$，
即${\text{log}}_{8}6>\frac{3}{4}$，
令$h\left( x \right)={\text{e}}^{x} - 1 - x - \frac{{x}^{2}}{2} - \frac{{x}^{3}}{6}$，$x \geq 0$，
则${h}^{'}\left( x \right)={\text{e}}^{x} - 1 - x - \frac{{x}^{2}}{2}$，令$j\left( x \right)={h}^{'}\left( x \right)={\text{e}}^{x} - 1 - x - \frac{{x}^{2}}{2}$，
则${j}^{'}\left( x \right)={\text{e}}^{x} - 1 - x$，令$k\left( x \right)={j}^{'}\left( x \right)={\text{e}}^{x} - 1 - x$，
则${k}^{'}\left( x \right)={\text{e}}^{x} - 1 \geq 0$在$x \geq 0$上恒成立，
所以${j}^{'}\left( x \right)={\text{e}}^{x} - 1 - x$在$x \geq 0$上单调递增，
因为${j}^{'}\left( 0 \right)=0$，所以${j}^{'}\left( x \right) \geq 0$在$x \geq 0$上恒成立，故${h}^{'}\left( x \right)$在$x \geq 0$上单调递增，
因为${h}^{'}\left( 0 \right)=0$，所以${h}^{'}\left( x \right) \geq 0$在$x \geq 0$上恒成立，故$h\left( x \right)$在$x \geq 0$上单调递增，
故$h\left( x \right) \geq h\left( 0 \right)\text{=0}$在$x \geq 0$上恒成立，所以$h\left( 1 \right)=\text{e} - 1 - 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{6}>0$，
故$\text{e}>\frac{8}{3}$，$\frac{2}{\text{e}} - \frac{3}{4}<0$，所以$\frac{2}{\text{e}}<\frac{3}{4}$，故$a<c$，
故$c>a>b$.
5.已知$a＝\frac{9 - e}{3+e}$，b＝ln3，$c＝2ln2 - \frac{2}{7}$，则
A.c＞b＞a B.a＞b＞c C.c＞a＞b D.b＞a＞c