本题是上海市西南模范中学2026-2027学年高三上学期10月复习反馈练习数学试卷第16题。
题目：已知 $b, c \in \mathbb{R}$，若 $|x^2 - bx - 2026c| \leq M$ 对任意的 $x \in [0,4]$ 恒成立，则（ ）
A. $M$ 的最小值为 1 B. $M$ 的最小值为 2
C. $M$ 的最小值为 4 D. $M$ 的最小值为 8
解 因为 $|x^2 - bx - 2026c| \leq M$ 对任意 $x \in [0,4]$ 恒成立，令 $f(x) = x^2 - bx - 2026c$
只需 $\begin{cases} |f(0)| \leq M \\ |f(4)| \leq M \\ \left|f\left(\dfrac{b}{2}\right)\right| \leq M \end{cases}$
即 $\begin{cases} |-2026c| \leq M \\ |16 - 4b - 2026c| \leq M \\ \left|\dfrac{b^2}{2} + 4052c\right| \leq 2M \end{cases}$
三式相加得 $\left|\dfrac{b^2}{2} + 4052c\right| + |16 - 4b - 2026c| + |2026c| \leq 4M$
由绝对值不等式性质定理得 $\left|\dfrac{b^2}{2} + 4052c\right| + |16 - 4b - 2026c| + |-2026c| \geq \left|\dfrac{b^2}{2} + 16 - 4b\right|$
只需 $4M \geq \left|\dfrac{b^2}{2} - 4b + 16\right|_{\min} = \left(\dfrac{b^2}{2} - 4b + 16\right)_{\min} = \left(\dfrac{1}{2}(b-4)^2 + 8\right)_{\min} = 8$
即 $M \geq 2$