圆过双曲线的左右焦点 则双曲线离心率

已知圆 $C_{1}:x^{2}+\left(y-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)^{2}=\dfrac{16}{3}$ 过双曲线 $C_{2}:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>0,b>0)$ 的左右焦点 $F_{1}$，$F_{2}$，曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 在第一象限的交点为 $M$，$|MF_{1}|\cdot|MF_{2}|=12$，则双曲线的离心率为 $\underline{\qquad}$。

解： $\because$ 在直角 $\triangle F_{1}C_{1}O$ 中，$|C_{1}F_{1}|=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$，$|C_{1}O|=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

$\therefore |F_{1}O|=c=2$，$\cos F_{1}C_{1}O=\dfrac{1}{2}$

设 $|MF_{1}|=m$，$|MF_{2}|=n$

$\because |MF_{1}|-|MF_{2}|=2a$

$\therefore m-n=2a$，$mn=12$

$\therefore m^{2}+n^{2}=4a^{2}+24$

$\therefore \cos\angle F_{1}MF_{2}=\dfrac{m^{2}+n^{2}-4c^{2}}{2mn}=\dfrac{4a^{2}+24-16}{24}=\dfrac{a^{2}+2}{6}$

$\because \angle F_{1}C_{1}F_{2}=2F_{1}C_{1}O=2\angle F_{1}MF_{2}$

$\therefore \cos F_{1}C_{1}O=\cos\angle F_{1}MF_{2}$

$\therefore \dfrac{a^{2}+2}{6}=\dfrac{1}{2}$

$\therefore a=1$

$\therefore e=\dfrac{c}{a}=2$（原文此处误写为 4；由 $c=2$，$a=1$ 得 $e=2$。）