椭圆 点在椭圆内 焦半径倒数和

16. 已知椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$，$F_{2}$，点 $P\left(\sqrt{6},1\right)$ 在 $C$ 内，点 $Q$ 在 $C$ 上，则 $\dfrac{1}{\left|QF_{1}\right|}+\dfrac{1}{\left|QF_{2}\right|}$ 的取值范围是__。

解： 点 $\left(\sqrt{6},1\right)$ 在椭圆内，则 $\dfrac{6}{9}+\dfrac{1}{b^{2}}<1$

$\therefore 3<b^{2}<9$

$\therefore c^{2}=\dfrac{9-b^{2}}{b^{2}}=1-\dfrac{b^{2}}{9}<\dfrac{2}{3}$

设点 $Q\left(x_{0},y_{0}\right)$，则 $\left|QF_{1}\right|=3+cx_{0}$，$\left|QF_{2}\right|=3-cx_{0}$

$\therefore \dfrac{1}{\left|QF_{1}\right|}+\dfrac{1}{\left|QF_{2}\right|}=\dfrac{6}{9-c^{2}x_{0}^{2}}$

显然当 $x_{0}=0$ 时原式值最大为 $\dfrac{2}{3}$；当 $c^{2}=\dfrac{2}{3}$，$x_{0}^{2}=9$ 时，原式值趋近于 $2$（取不到）。

$\therefore \dfrac{2}{3}\leq\dfrac{1}{\left|QF_{1}\right|}+\dfrac{1}{\left|QF_{2}\right|}<2$