双曲线 三角形外接圆面积比

8. 已知 $A$，$B$ 分别是双曲线 $C:\dfrac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ 的左右顶点，$P$ 是双曲线 $C$ 上的一动点，直线 $PA$，$PB$ 与 $x=1$ 交于 $M$，$N$ 两点，$\triangle PMN$，$\triangle PAB$ 的外接圆面积分别为 $S_{1}$，$S_{2}$，则 $\dfrac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值为（▲）

A. $\dfrac{3}{16}$　　B. $\dfrac{3}{4}$　　C. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$　　D. 1

解： 设点 $P(x_{0},y_{0})$，则 $\dfrac{x_{0}^{2}}{4}-y_{0}^{2}=1$，

$k_{PA}\cdot k_{PB}=\dfrac{y_{0}}{x_{0}+2}\cdot\dfrac{y_{0}}{x_{0}-2}=\dfrac{y_{0}^{2}}{x_{0}^{2}-4}=\dfrac{1}{4}$。

设 $PA$ 直线方程为 $y=k(x+2)$，则 $PB$ 直线方程为 $y=\dfrac{1}{4k}(x-2)$，

则 $y_{M}=3k$，$y_{N}=-\dfrac{1}{4k}$，

$\therefore MN=3k+\dfrac{1}{4k}$。

设 $\triangle PMN$ 外接圆半径 $r_{1}$，$\triangle PAB$ 外接圆半径 $r_{2}$，$\angle MPN=\angle APB$，

$\therefore 2r_{1}=\dfrac{MN}{\sin\angle MPN}$，$2r_{2}=\dfrac{AB}{\sin\angle MPN}$，

$\therefore \dfrac{r_{1}}{r_{2}}=\dfrac{MN}{AB}$，$\dfrac{S_{1}}{S_{2}}=\dfrac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}=\dfrac{\left(3k+\dfrac{1}{4k}\right)^{2}}{16}\ge\dfrac{\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}{16}=\dfrac{3}{16}$。

（当 $k=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$ 时取等号，最小值为 $\dfrac{3}{16}$。）

故选 A。