双曲线 MFNF=4

15. 双曲线 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>0,b>0)$ 的右焦点为 $F$，离心率为 $e$，过原点的直线与 $C$ 的左右两支分别交于 $M,N$ 两点，若 $|MF|\cdot|NF|=4$，$\angle MFN=60^{\circ}$，则 $e^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}$ 的最小值为 $\underline{\qquad}$。

解： 依题可知四边形 $MNFF'$（$F'$ 为左焦点）为平行四边形。

由余弦定理可得：

$|MN|^{2}=|MF|^{2}+|NF|^{2}-2|MF||NF|\cos 60^{\circ}$

$|FF'|^{2}=|MF|^{2}+|NF|^{2}-2|MF||NF|\cos 120^{\circ}$

$\therefore |MN|^{2}=|MF|^{2}+|NF|^{2}-4$

$4c^{2}=|MF|^{2}+|NF|^{2}+4$

$\therefore |MN|^{2}=4c^{2}-8$

$\because |MF|-|NF|=2a$

$\therefore |MF|^{2}+|NF|^{2}-2|MF||NF|=4a^{2}$

$\therefore |MN|^{2}+4-8=4a^{2}$

$\therefore |MN|^{2}=4a^{2}+4$

$\therefore 4c^{2}-8=4a^{2}+4$

$\therefore c^{2}=a^{2}+3$

$\therefore e^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}=\dfrac{c^{2}}{a^{2}}+\dfrac{a^{2}}{4}=\dfrac{a^{2}+3}{a^{2}}+\dfrac{a^{2}}{4}=1+\dfrac{3}{a^{2}}+\dfrac{a^{2}}{4}\ge 1+\sqrt{3}$

（当 $a^{2}=2\sqrt{3}$ 时取等号，最小值为 $1+\sqrt{3}$。）