双绝对值 (a-1)x

15. 已知 $a>1$，且函数 $f(x)=2\left|x^2-x+a\right|+\left|x^2-4x+a\right|$，若对任意的 $x\in(1,a)$ 不等式 $f(x)\ge (a-1)x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为。

解

因为 $a>1$，$x\in(1,a)$，不等式 $f(x)\ge (a-1)x$ 恒成立，

所以 $f(x)=2\left|x^2-x+a\right|+\left|x^2-4x+a\right|\ge (a-1)x$，

即 $a-1\le 2\left|x+\dfrac{a}{x}-1\right|+\left|x+\dfrac{a}{x}-4\right|$ 恒成立，

令 $g(x)=x+\dfrac{a}{x}$，则 $g'(x)=1-\dfrac{a}{x^2}$，

令 $g'(x)=0$，则 $1-\dfrac{a}{x^2}=0$，解得 $x=\sqrt{a}$ 或 $x=-\sqrt{a}$（舍），

当 $x\in(1,\sqrt{a})$ 时，$g'(x)<0$，

当 $x\in(\sqrt{a},a)$ 时，$g'(x)>0$，

所以 $g(x)$ 在 $(1,\sqrt{a})$ 上单调递减，在 $(\sqrt{a},a)$ 上单调递增，

所以 $g(x)_{\min}=g(\sqrt{a})=\sqrt{a}+\dfrac{a}{\sqrt{a}}=2\sqrt{a}$，

令 $t=x+\dfrac{a}{x}$，则 $t\in\left[2\sqrt{a},\ a+1\right)$（$a>1$），

因为 $t>1$，所以 $h(t)=2|t-1|+|t-4|=2t-2+|t-4|=\begin{cases} t+2, & 1<t<4 \\ 3t-6, & t\ge 4 \end{cases}$，

$h(t)$ 在 $\left[2\sqrt{a},\ a+1\right)$ 上单调递增，

当 $2\sqrt{a}\ge 4$，即 $a\ge 4$ 时，$t\ge 4$，

所以 $h(t)$ 的最小值为 $h(2\sqrt{a})=3\times 2\sqrt{a}-6=6\sqrt{a}-6$，

所以 $a-1\le 6\sqrt{a}-6$，即 $a^2-26a+25\le 0$，解得 $1\le a\le 25$，

所以 $4\le a\le 25$。

当 $1<a<4$ 时，$h(t)$ 的最小值为 $h(2\sqrt{a})=2\sqrt{a}+2$，

所以 $a-1\le 2\sqrt{a}+2$，即 $a-2\sqrt{a}-3\le 0$，解得 $0\le a\le 9$，

所以 $1<a<4$。

解析

【解析】$a>1$ 时，对任意的 $x\in(1,a)$，$x^2>x$，

不等式 $f(x)\ge (a-1)x$ 化为：

$2x^2-2x+2a+\left|x^2-4x+a\right|\ge (a-1)x$，

即 $\left|x^2-4x+a\right|\ge -2x^2+(a+1)x-2a$，

所以 $x^2-4x+a\ge -2x^2+(a+1)x-2a$，或 $x^2-4x+a\le 2x^2-(a+1)x+2a$，

即 $3x^2-(a+5)x+3a\ge 0$ ① 或 $x^2-(a-3)x+a\ge 0$ ② 在 $x\in(1,a)$ 时恒成立，

(1) 当 $3x^2-(a+5)x+3a\ge 0$ ① 在 $x\in(1,a)$ 时恒成立时，

令 $g(x)=3x^2-(a+5)x+3a$，$x\in(1,a)$，

$\because x\in(1,a)$，$\therefore 1<\dfrac{a+5}{6}<a$，

$\therefore$ 由 $g(x)\ge 0$ 恒成立有，$\begin{cases} \dfrac{a+5}{6}<a \\ g\left(\dfrac{a+5}{6}\right)\ge 0 \end{cases}$，

$\therefore \begin{cases} a>1 \\ 1\le a\le 25 \end{cases}$，$\therefore 1<a\le 25$；

(2) 当 $x^2-(a-3)x+a\ge 0$ ② 在 $x\in(1,a)$ 时恒成立时，

令 $g(x)=x^2-(a-3)x+a$，$x\in(1,a)$

$\because x\in(1,a)$，$\therefore \dfrac{a-3}{2}>a$，

$\therefore$ 由 $g(x)\ge 0$ 恒成立有，$\begin{cases} \dfrac{a-3}{2}\le 1 \\ g(1)\ge 0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} \dfrac{a-3}{2}>1 \\ g\left(\dfrac{a-3}{2}\right)\ge 0 \end{cases}$

$\therefore \begin{cases} a\le 5 \\ 4\ge 0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a>5 \\ 1\le a\le 9 \end{cases}$，$\therefore a\le 9$，又 $a>1$，

$\therefore 1<a\le 9$；

$\therefore$ 由 (1)(2) 得实数 $a$ 的取值范围为：$(1,25]$。

故选：$B$。