三角形 AB 边上高线与 AC 边上中线相等

题目：已知 $\triangle ABC$ 中，$AB=2BC=2$，$AB$ 边上的高与 $AC$ 边上的中线相等，则 $\tan B=$ 。

解答

设 $AC=2m$，$AB$ 边上的高为 $CE$，$AC$ 边上的中线为 $BD$（$D$ 为 $AC$ 中点，$AD=CD=m$），则 $CE=BD$。

第一步：用互补角建立方程。

$\triangle ABD$ 中：$\cos\angle ADB=\dfrac{BD^2+m^2-4}{2m\cdot BD}$；

$\triangle CBD$ 中：$\cos\angle CDB=\dfrac{BD^2+m^2-1}{2m\cdot BD}$。

由 $\angle ADB+\angle CDB=\pi$，$\cos\angle CDB=-\cos\angle ADB$：

第二步：用高线条件。

$CE=BC\sin B=\sin B$，故 $BD=\sin B$，即 $BD^2=1-\cos^2 B$。

又 $\cos B=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\dfrac{4+1-4m^2}{4}=\dfrac{5-4m^2}{4}$，且 $BD^2=\dfrac{5-2m^2}{2}$，代入：

解得 $m=\dfrac{\sqrt7}{2}$，即 $AC=\sqrt7$。

第三步：求角。

（验证：$\cos B=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\dfrac{4+1-7}{4}=-\dfrac12$ ✓）