棱长为 a 的木块削成圆锥，体积最大

题目（第 16 题）. 某兴趣小组准备将一棱长为 $a$ 的正方体木块打磨成圆锥，则圆锥的最大体积为 .

解答

第一种情况. 取正方体六条棱中点，得到的六边形内切圆为圆锥底面.

易知六边形边长为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$，其内切圆半径为 $\dfrac{\sqrt{6}}{4}a$.

圆锥高为体对角线一半 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$.

\therefore\ V=\frac{1}{3}\times\pi\times\frac{6}{16}a^{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{16}\pi a^{3}

第二种情况. 若圆锥底面圆为正方体底面内切圆.

\therefore\ V=\frac{1}{3}\pi\times\frac{a^{2}}{4}\times a=\frac{1}{12}\pi a^{3}

\therefore\ V_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{16}\pi a^{3}