安徽省黄山市 2023 届高三第一次质量检测数学试题
题目：对于函数 $f(x)=x^{3}-2x^{2}+ax+b\ (a,b\in R)$，则（ ）
A. $f(x)$ 是单调函数的充要条件是 $a>\dfrac{4}{3}$
B. $f(x)$ 图像一定是中心对称图形
C. 若 $a=0$，且 $f(x)$ 恰有一个零点，则 $b<0$ 或者 $b>\dfrac{32}{27}$
D. 若 $f(x)$ 的三个零点 $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}$ 恰为某三角形的三边长，则 $a+b>1$
解答：
对于 A：
$\because f'(x)=3x^{2}-4x+a$
$\therefore$ 若 $f(x)$ 是单调函数需 $3x^{2}-4x+a\geq 0$ 恒成立。
$\therefore \Delta=14-12a\leq 0$
$\therefore a\geq \dfrac{4}{3}$，故 A 错误。
B 显然正确，且对称中心为 $\left(\dfrac{2}{3},f(\dfrac{2}{3})\right)$。
对于 C：
若 $f(x)$ 有一个零点，则 $x^{3}-2x^{2}+b=0$ 有一个解。
$\therefore b=-x^{3}+2x^{2}$ 有一个解。
设 $g(x)=-x^{3}+2x^{2}$，$g'(x)=-3x^{2}+4x$
$\therefore x<0$ 和 $x>\dfrac{4}{3}$ 时 $g(x)$ 单减，$0<x<\dfrac{4}{3}$ 时 $g(x)$ 单增。
$\therefore g(x)$ 极小值为 $g(x)=0$，极大值为 $g(\dfrac{4}{3})=\dfrac{32}{27}$。
如右图所示：
$\therefore b<0$ 或 $b>\dfrac{32}{27}$，故 C 正确。
对于 D：
依题 $f(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$
$=x^{3}-\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)x^{2}+\left(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}\right)x-x_{1}x_{2}x_{3}$
$\therefore\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}=a \\ -x_{1}x_{2}x_{3}=b\end{cases}$
$\because x_{1}、x_{2}、x_{3}$ 为三角形三边边长
$\therefore x_{1}+x_{2}>x_{3},\ x_{1}+x_{3}>x_{2},\ x_{2}+x_{3}>x_{1}$
$\therefore 2-x_{3}>x_{3},\ 2-x_{2}>x_{2},\ 2-x_{1}>x_{1}$
$\therefore 1-x_{3}>0,\ 1-x_{2}>0,\ 1-x_{1}>0$
$\therefore\left(1-x_{1}\right)\left(1-x_{2}\right)\left(1-x_{3}\right)>0$
$\therefore 1-\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)+\left(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}\right)-x_{1}x_{2}x_{3}>0$
$\therefore a+b>1$，故 D 正确。
答案：BCD