8．有两个点在 $y$ 轴上移动，$t$ 时刻的位置分别由函数 $y_1=\left(t-\dfrac{\pi}{3}\right)\sin t$ 和 $y_2=\dfrac{1}{2}-\cos t$ 确定，在 $(0,2\pi)$ 时段内两点重合的时刻 $t$ 有（ ）
A. $1$ 个 B. $2$ 个 C. $3$ 个 D. $4$ 个
解答
依题可知重合时刻 $t$ 的个数即 $f(t)=\left(t-\dfrac{\pi}{3}\right)\sin t+\cos t-\dfrac{1}{2}$ 零点个数
$$f'(t)=\sin t+\left(t-\frac{\pi}{3}\right)\cos t-\sin t=\left(t-\frac{\pi}{3}\right)\cos t$$
$\left(t-\dfrac{\pi}{3}\right)\cos t>0$ 时 $\dfrac{\pi}{3}<t<\dfrac{\pi}{2}$ 或 $\dfrac{3\pi}{2}<t<2\pi$
$\left(t-\dfrac{\pi}{3}\right)\cos t<0$ 时 $0<t<\dfrac{\pi}{3}$ 或 $\dfrac{\pi}{2}<t<\dfrac{3\pi}{2}$
$\therefore\ \dfrac{\pi}{3}<t<\dfrac{\pi}{2}$ 或 $\dfrac{3\pi}{2}<t<2\pi$ 时 $f(t)$ 单增；$0<t<\dfrac{\pi}{3}$ 或 $\dfrac{\pi}{2}<t<\dfrac{3\pi}{2}$ 时 $f(t)$ 单减
$$f(t)_{\text{极小值}}=f\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$$
$$f(t)_{\text{极大值}}=f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}>0\ \langle\text{注：}\frac{\pi}{6}\approx0.524>\frac12\rangle$$
$$f(t)_{\text{极小值}}=f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-\frac{7\pi}{6}-\frac{1}{2}<0$$
$$f(2\pi)=\frac{1}{2}>0$$
$f(t)$ 图像如下图所示（在 $(0,2\pi)$ 内依次穿过 $x$ 轴三次：$A$ 附近相切后上升、$B$ 处下降穿轴、$E$ 为极小值后回升穿轴）：
- $t\in\left(0,\dfrac{\pi}{3}\right)$：$f(t)<0$ 递减至 $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=0$（相切，$A$、$C$、$D$ 点附近）
- $t\in\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}\right)$：升为正（极大值 $>0$）
- $t\in\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)$：递减穿零一次（$B$ 点，$t\approx 6$ 附近对应图中 $B$）
- $t\in\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)$：极小值（$E$，$f<0$）后递增穿零一次
$\therefore\ (0,2\pi)$ 内 $f(t)$ 零点个数为 $3$ 个
答案： C