本题为江苏省海安高级中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题第14题。
题目：对于实数 $x$，$y$，$z$，记 $\max\{x,y,z\}$ 为 $x$，$y$，$z$ 中的最大者，例如：$\max\{1,2,3\}=3$，$\max\{2,2,9\}=9$，$\max\{5,5,5\}=5$。设实数 $a$，$b$，$c \in (0,2]$，且 $b \geq 3a$ 或 $a+b \leq \frac{4}{3}$，则 $\max\{b-a, c-b, 4-2c\}$ 的最小值为。
解：设 $M=\max\{b-a,c-b,4-2c\}$，则
$\begin{cases} M \geq b-a \\ M \geq c-b \\ M \geq 4-2c \end{cases}$
三式相加得 $3M \geq 4-a-c$
当 $b \geq 3a$ 时：
$b-a \geq 3a-a=2a$
$a \leq \frac{M}{2}$
结合 $M \geq 4-2c$，可得 $c \leq \frac{4-M}{2}$
代入 $3M \geq 4-a-c$，得 $3M \geq 4-\frac{M}{2}-\frac{4-M}{2}=4-2=2$
$M \geq \frac{2}{3}$
当 $a+b \leq \frac{4}{3}$ 时：
$b-a \leq \frac{4}{3}-a-a=\frac{4}{3}-2a$
结合 $M \geq b-a$，可得 $M \geq \frac{4}{3}-2a$，即 $a \geq \frac{2}{3}-\frac{M}{2}$
由 $M \geq 4-2c$，得 $c \leq \frac{4-M}{2}$
代入 $3M \geq 4-a-c$，得 $3M \geq 4-\left(\frac{2}{3}-\frac{M}{2}\right)-\frac{4-M}{2}=\frac{4}{3}+M$
$M \geq \frac{2}{3}$
验证：当 $M=\frac{2}{3}$ 时，取 $a=\frac{1}{3}$，$b=1$，$c=\frac{5}{3}$，满足 $a$，$b$，$c \in (0,2]$，且 $a+b=\frac{4}{3}$
$b-a=\frac{2}{3}$，$c-b=\frac{2}{3}$，$4-2c=\frac{2}{3}$
即 $\max\{b-a,c-b,4-2c\}=\frac{2}{3}$
所以 $\max\{b-a,c-b,4-2c\}$ 的最小值为 $\frac{2}{3}$。