函数零点 f(x)=x+1-ln(x+2) g(x)=x2-2ax+4a+4

8. 已知 $x_{1}$ 是函数 $f(x)=x+1-\ln(x+2)$ 的零点，$x_{2}$ 是函数 $g(x)=x^{2}-2ax+4a+4$ 的零点，且满足 $|x_{1}-x_{2}|\le 1$，则实数 $a$ 的最小值是

A. $-1$　　B. $-2$　　C. $2-2\sqrt{2}$　　D. $1-\sqrt{2}$

解： $f(x)$ 的定义域为 $(-2,+\infty)$，$f'(x)=1-\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{x+1}{x+2}$，当 $-2<x<-1$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；当 $x>-1$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，所以 $f(x)_{\min}=f(-1)=0$，所以 $x=-1$ 为方程 $f(x)=0$ 的唯一实根，即 $x_{1}=-1$，故 $|x_{1}-x_{2}|\le 1$，即 $|-1-x_{2}|\le 1$，解得 $-2\le x_{2}\le 0$。

因为 $x_{2}$ 是 $g(x)=x^{2}-2ax+4a+4$ 的零点，所以方程 $x^{2}-2ax+4a+4=0$ 在区间 $[-2,0]$ 上有实根，即 $(2x-4)a=x^{2}+4$ 在区间 $[-2,0]$ 上有实根，即 $2a=\dfrac{x^{2}+4}{x-2}$ 在区间 $[-2,0]$ 上有实根。

令 $g(x)=\dfrac{x^{2}+4}{x-2}$，$x\in[-2,0]$，则

$g(x)=\dfrac{x^{2}+4}{x-2}=\dfrac{(x^{2}-4)+8}{x-2}=x+2+\dfrac{8}{x-2}=(x-2)+\dfrac{8}{x-2}+4$。

设 $t=x-2\ (-4\le t\le -2)$，则 $h(t)=t+\dfrac{8}{t}+4$，易知 $h(t)$ 在区间 $(-4,-2\sqrt{2})$ 上单调递增，在区间 $(-2\sqrt{2},-2)$ 上单调递减。又 $h(-4)=-2$，$h(-2)=-2$，所以 $h(t)_{\min}=-2$，$h(t)_{\max}=4-4\sqrt{2}$，所以 $-2\le 2a\le 4-4\sqrt{2}$，即 $-1\le a\le 2-2\sqrt{2}$，故实数 $a$ 的最小值是 $-1$。

故选 A。