16. 已知函数 $f(x)=ax^2+x$，若当 $x\in[0,1]$ 时，$|f(x+1)|\le a+1$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是__。
解
依题可得 $x\in[0,1]$ 时 $\left|a(x+1)^2+x+1\right|\le a+1$ 恒成立
$\therefore \begin{cases} a(x+1)^2+x+1\le a+1 \\ a(x+1)^2+x+1\ge -a-1 \end{cases}$
$\therefore \begin{cases} a(x^2+2x)\le -x \\ a(x^2+2x+2)\ge -x-2 \end{cases}$
若 $a(x^2+2x)\le -x$，
当 $x=0$ 时，$a\in R$
当 $x\in(0,1]$ 时，$a\le -\dfrac{x}{x^2+x}=-\dfrac{1}{x+1}\le -\dfrac{1}{2}$
$\therefore a\le -\dfrac{1}{2}$
若 $a(x^2+2x+2)\ge -x-2$，则 $a\ge -\dfrac{x+2}{x^2+2x+2}$
令 $t=x+2$，$t\in[2,3]$，则 $\dfrac{x+2}{x^2+2x+2}=\dfrac{t}{t^2-2t+2}=\dfrac{1}{t+\dfrac{2}{t}-2}$
$\because 1\le t+\dfrac{2}{t}-2\le \dfrac{5}{3}$
$\therefore \dfrac{3}{5}\le \dfrac{1}{t+\dfrac{2}{t}-2}\le 1$
$\therefore -1\le -\dfrac{x+2}{x^2+2x+2}\le -\dfrac{3}{5}$
$\therefore a\ge -\dfrac{3}{5}$
$\therefore -\dfrac{3}{5}\le a\le -\dfrac{1}{2}$