f)x)图像关于直线x=1(2

8. 已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称，且关于点 $(2,0)$ 中心对称。设 $g(x)=(x-1)f(x)$，若 $g(23)=88$，$\displaystyle\sum_{i=1}^{2023} g(i)=$（　）

A. $4040$　　　　　　B. $4044$　　　　　　C. $4048$　　　　　　D. $4052$

解答

依题可知 $f(1-x)=f(1+x)$，$f(x)+f(4-x)=0$

$\therefore f(4-x)=f(x-2)=-f(x)$

$\therefore f(x)=-f(x+2)$，$f(x+2)=-f(x+4)$

$\therefore f(x)=f(x+4)$，$T=4$

$\because g(23)=22f(23)=88$

$\therefore f(23)=4$

$\therefore f(3)=f(-1)=4$

$\therefore f(5)=-4$

$\because f(2)+f(2)=0$，$f(0)=f(2)$

$\therefore f(0)=f(2)=0$

$\therefore f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=\cdots=0$

$f(3)=f(7)=f(11)=f(15)=\cdots=4$

$f(5)=f(9)=f(13)=\cdots=-4$

答案：C